#линейное — C# линейное неравенство


Содержание

Операторы отношения и логические операторы

C# — Руководство по C# — Операторы отношения и логические операторы

В обозначениях оператор отношения и логический оператор термин отношения означает взаимосвязь, которая может существовать между двумя значениями, а термин логический — взаимосвязь между логическими значениями «истина» и «ложь». И поскольку операторы отношения дают истинные или ложные результаты, то они нередко применяются вместе с логическими операторами. Именно по этой причине они и рассматриваются совместно.

Ниже перечислены операторы отношения:

Операторы отношения C#

Оператор Значение
== Равно
!= Не равно
> Больше
= Больше или равно
Логические операторы C#
Оператор Значение
& И
| ИЛИ
^ Исключающее ИЛИ
&& Укороченное И
|| Укороченное ИЛИ
! НЕ

Результатом выполнения оператора отношения или логического оператора является логическое значение типа bool.

В целом, объекты можно сравнивать на равенство или неравенство, используя операторы отношения == и !=. А операторы сравнения , = могут применяться только к тем типам данных, которые поддерживают отношение порядка. Следовательно, операторы отношения можно применять ко всем числовым типам данных. Но значения типа bool могут сравниваться только на равенство или неравенство, поскольку истинные (true) и ложные (false) значения не упорядочиваются. Например, сравнение true > false в C# не имеет смысла.

Рассмотрим пример программы, демонстрирующий применение операторов отношения и логических операторов:

Логические операторы в C# выполняют наиболее распространенные логические операции. Тем не менее существует ряд операций, выполняемых по правилам формальной логики. Эти логические операции могут быть построены с помощью логических операторов, поддерживаемых в C#. Следовательно, в C# предусмотрен такой набор логических операторов, которого достаточно для построения практически любой логической операции, в том числе импликации. — это двоичная операция, результатом которой является ложное значение только в том случае, если левый ее операнд имеет истинное значение, а правый — ложное. (Операция импликации отражает следующий принцип: истина не может подразумевать ложь .)

Операция импликации может быть построена на основе комбинации логических операторов ! и |:

Укороченные логические операторы

В C# предусмотрены также специальные, укороченные, варианты логических операторов И и ИЛИ, предназначенные для получения более эффективного кода. Поясним это на следующих примерах логических операций. Если первый операнд логической операции И имеет ложное значение (false), то ее результат будет иметь ложное значение независимо от значения второго операнда. Если же первый операнд логической операции ИЛИ имеет истинное значение (true), то ее результат будет иметь истинное значение независимо от значения второго операнда. Благодаря тому что значение второго операнда в этих операциях вычислять не нужно, экономится время и повышается эффективность кода.

Укороченная логическая операция И выполняется с помощью оператора &&, а укороченная логическая операция ИЛИ — с помощью оператора ||. Этим укороченным логическим операторам соответствуют обычные логические операторы & и |. Единственное отличие укороченного логического оператора от обычного заключается в том, что второй его операнд вычисляется только по мере необходимости.

Укороченные логические операторы иногда оказываются более эффективными, чем их обычные аналоги. Так зачем же нужны обычные логические операторы И и ИЛИ? Дело в том, что в некоторых случаях требуется вычислять оба операнда логической операции И либо ИЛИ из-за возникающих побочных эффектов. Пример:

Стоит отметить, что при возникновении исключительной ситуации во время отладки кода, Visual Studio 2010 выводит сообщение следующего характера:

Решение линейных неравенств

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Символ Название Тип знака
> больше строгий знак
(число на границе не включается )
строгий знак
(число на границе не включается )
больше или равно нестрогий знак
(число на границе включается )
меньше или равно нестрогий знак
(число на границе включается )

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

Как решить линейное неравенство

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный .

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

  • если неравенство строгое, то число отмечается как «пустая» точка. Это означает, что число не входит в область решения;
  • если неравенство нестрогое, то число отмечается как «заполненная» точка. Это означает, что число входит в область решения.

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.

Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.


В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

  • Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то
    знак самого неравенства остаётся прежним .
  • Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то
    знак самого неравенства меняется на противоположный .

Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.

Рассмотрим другое неравенство.

Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

Линейные неравенства. Системы линейных неравенств

На уроке Уравнение прямой на плоскости мы рассмотрели общее уравнение прямой . Уравнение – хорошо, в жизни пригодится, но не менее важно знать геометрический смысл линейных неравенств двух переменных. Принципиальное отличие от неравенств с одной переменной состоит в размерности. Если в примерах статьи Область определения функции существуют только «иксы» и только ось абсцисс, то сейчас добавляются «игреки» и поле деятельности расширяется до всей координатной плоскости. Далее по тексту словосочетание «линейное неравенство» понимаем в двумерном смысле, который прояснится через считанные секунды.

Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования, поэтому рекомендую проштудировать данную лекцию со всей серьёзностью.

Линейные неравенства

Различают два типа линейных неравенств:

1) Строгие неравенства: .

2) Нестрогие неравенства: .

Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость.

Для понимания нижеследующей информации нужно знать разновидности прямых на плоскости и уметь строить прямые. Если возникнут трудности в этой части, прочитайте справку Графики и свойства функций – параграф про линейную функцию.

Начнём с простейших линейных неравенств. Голубая мечта любого двоечника – координатная плоскость, на которой нет ничегошеньки:

Как известно, ось абсцисс задаётся уравнением – «игрек» всегда (при любом значении «икс») равняется нулю

Рассмотрим неравенство . Как его понимать неформально? «Игрек» всегда (при любом значении «икс») положителен. Очевидно, что данное неравенство определяет верхнюю полуплоскость – ведь там и находятся все точки с положительными «игреками».

В том случае, если неравенство нестрогое , к верхней полуплоскости дополнительно добавляется сама ось .

Аналогично: неравенству удовлетворяют все точки нижней полуплоскости, нестрогому неравенству соответствует нижняя полуплоскость + ось .

С осью ординат та же самая прозаичная история:

– неравенство задаёт правую полуплоскость;
– неравенство задаёт правую полуплоскость, включая ось ординат;
– неравенство задаёт левую полуплоскость;
– неравенство задаёт левую полуплоскость, включая ось ординат.

На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных.

Или отсутствует «икс»:

С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, пожалуйста, рассмотрите оба подхода. Попутно вспомним-закрепим школьные действия с неравенствами, уже разобранные на уроке Область определения функции.

Решить линейные неравенства:

Что значит решить линейное неравенство?

Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение, как правило, графическое.

Удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать:

а) Решим неравенство

Способ весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс».

Правило: В неравенстве слагаемые переносятся из части в часть со сменой знака, при этом знак САМОГО неравенства не меняется (например, если был знак «меньше», то так и останется «меньше»).

Переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака:

Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства не меняется.

Умножаем обе части неравенства на :


Теперь чертим прямую (синяя пунктирная линия). Прямая проведена пунктиром по той причине, что неравенство строгое, и точки, принадлежащие данной прямой, заведомо не будут входить в решение.

Каков смысл неравенства ? «Икс» всегда (при любом значении «игрек») меньше, чем . Очевидно, что этому утверждению удовлетворяют все точки левой полуплоскости. Данную полуплоскость, в принципе, можно заштриховать, но я ограничусь маленькими синими стрелочками, чтобы не превращать чертёж в художественную палитру.

Это универсальный способ. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО!

Сначала чертим прямую . Для ясности, кстати, уравнение целесообразно представить в виде .

Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. В большинстве случаев, самая лакомая точка, конечно . Подставим координаты данной точки в неравенство :

Получено неверное неравенство (простыми словами, так быть не может), значит, точка не удовлетворяет неравенству .

Ключевое правило нашей задачи:
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.

Можете протестировать: любая точка справа от прямой не будет удовлетворять неравенству .

Какой вывод из проведённого опыта с точкой ? Деваться некуда, неравенству удовлетворяют все точки другой – левой полуплоскости (тоже можете проверить).

б) Решим неравенство

Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный (например, если был знак «больше либо равно», то станет «меньше либо равно»).

Умножаем обе части неравенства на :

Начертим прямую (красный цвет), причём, начертим сплошной линией, так как неравенство у нас нестрогое, и прямая заведомо принадлежит решению.

Проанализировав полученное неравенство , приходим к выводу, что его решением является нижняя полуплоскость (+ сама прямая).

Подходящую полуплоскость штрихуем либо помечаем стрелочками.

Начертим прямую . Выберем произвольную точку плоскости (не принадлежащую прямой), например, и подставим её координаты в наше неравенство :

Получено верное неравенство, значит, точка удовлетворяет неравенству , и вообще – ВСЕ точки нижней полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.

Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость.

Решение задачи обозначено красной прямой и красными стрелочками.

Лично мне больше нравится первый способ решения, поскольку второй таки более формален.

Решить линейные неравенства:

Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). В ответе в конце урока будет только итоговый чертёж.

Думаю, после всех проделанных в примерах действий вам придётся на них жениться не составит труда решить простейшее неравенство вроде и т.п.

Переходим к рассмотрению третьего, общего случая, когда в неравенстве присутствуют обе переменные:

Как вариант, свободный член «цэ» может быть нулевым.

Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам:

Решение: Здесь используется универсальный метод решения с подстановкой точки.

а) Построим уравнение прямой , при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство строгое и сама прямая не войдёт в решение.

Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставим её координаты в наше неравенство:

Получено неверное неравенство, значит, точка и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству . Решением неравенства будет другая полуплоскость, любуемся синими молниями:

б) Решим неравенство . Сначала построим прямую. Это сделать несложно, перед нами каноничная прямая пропорциональность . Линию проводим сплошняком, так как неравенство нестрогое.

Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, сейчас оно не годится. Поэтому придётся работать с другой подругой. Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, . Подставим её координаты в наше неравенство:

Получено верное неравенство, значит, точка и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству . Искомая полуплоскость помечена красными стрелочками. Кроме того, в решение входит сама прямая .

Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение, примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Разберём обратную задачу:

а) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка , при этом сама прямая должна входить в решение.

б) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка . Сама прямая не входит в решение.

Решение: здесь нет необходимости в чертеже, и решение будет аналитическим. Ничего трудного:


а) Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «меньше». По условию прямая входит в решение, поэтому неравенство будет нестрогим:

б) Составим многочлен и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «больше». По условию прямая не входит в решение, следовательно, неравенство будет строгим: .

Ответ:

Творческий пример для самостоятельного изучения:

Даны точки и прямая . Среди перечисленных точек найти те, которые вместе с началом координат лежат по одну сторону от заданной прямой.

Небольшая подсказка: сначала нужно составить неравенство, определяющее полуплоскость, в которой находится начало координат. Аналитическое решение и ответ в конце урока.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств – это, как вы понимаете, система, составленная из нескольких неравенств. Лол, ну и определение выдал =) Ёжик – это ёжик, ножик – это ножик. А ведь правда – получилось просто и доступно! Нет, если серьёзно, не хочется приводить каких-то примеров в общем виде, поэтому сразу перейдём к насущным вопросам:

Что значит решить систему линейных неравенств?

Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат («рисунок двоечников» находится в самом начале урока):

Система неравенств задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например, и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:
– система неравенств задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);
– система неравенств задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);
– система неравенств задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно очевидно, что «икс» не может одновременно быть больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может являться прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая .

Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы.

Решить систему линейных неравенств

На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нестрогими неравенствами, поэтому оставшуюся часть урока водить хороводы будут именно они.

Решение: то, что неравенств многовато, пугать не должно. Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно. Главное, придерживаться рационального алгоритма построения области решений:

1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки)

2) Второе по простоте неравенство – здесь отсутствует «игрек». Во-первых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость. Ну что же, область поиска стала ещё меньше – такой не ограниченный сверху прямоугольник.

3) На последнем шаге решаем неравенства «с полной амуницией»: . Алгоритм решения мы подробно рассмотрели в предыдущем параграфе. Вкратце: сначала строим прямую, потом с помощью подопытной точки находим нужную нам полуплоскость.

Встаньте, дети, встаньте в круг:

Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. Перестарался немного =) В тетради область решений достаточно либо заштриховать, либо жирнее обвести простым карандашом.

Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (для интереса можете проверить).

Ответ: решением системы является многоугольник .

При оформлении на чистовик неплохо бы подробно расписать, по каким точкам вы строили прямые (см. урок Графики и свойства функций), и как определяли полуплоскости (см. первый параграф данного урока). Однако на практике в большинстве случаев вам зачтут и просто правильный чертёж. Сами же расчёты можно проводить на черновике или даже устно.

Помимо многоугольника решений системы, на практике, пусть и реже, встречается открытая область. Попытайтесь разобрать следующий пример самостоятельно. Хотя, точности ради, пыток тут никаких – алгоритм построения такой же, просто область получится не ограниченной.

Решение и ответ в конце урока. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения вершин полученной области. Это не принципиально, главное, правильно найти вершины и правильно построить область.

Не редкость, когда в задачах требуется не только построить область решений системы, но и найти координаты вершин области. В двух предыдущих примерах координаты данных точек были очевидны, но на практике всё бывает далеко не айс:

Решить систему и найти координаты вершин полученной области

Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы. Неравенство задаёт левую полуплоскость с осью ординат, и халявы тут больше нет. После расчётов на чистовике/черновике или глубоких мыслительных процессов, получаем следующую область решений:

Область решений представляет собой многоугольник . Теперь нужно найти координаты вершин полученной области. Здесь ясно прорисовались координаты только двух точек: . Остаётся решить вопрос с точками .

Нетрудно заметить, что вершины являются точками пересечением прямых. Как найти точку пересечения двух прямых, мы рассмотрели на уроке Задачи с прямой на плоскости.

Найдём координаты вершины :

Примечание: из второго уравнения системы почленно вычтено первое уравнение. Более подробно о методе можно прочитать в статье Как решить систему уравнений?

Найдём координаты точки :

Примечание: второе уравнение системы умножено на 3, затем уравнения сложены почленно.

Для красоты координаты точек тоже можно найти аналитическим методом:

Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках .


Кто из вас попадёт в «десятку»? Заключительный пример урока для самостоятельного решения:

Найти область решений системы и координаты вершин полученной области

И опять же, буквенные обозначения вершин многоугольника у нас могут отличаться. У меня будет точка «цэ», а у вас эта же вершина может быть обозначена через «дэ».

Мы рассмотрели примеры средней степени сложности, чего вполне достаточно. В ряде задач, например, в задаче линейного программирования коэффициенты неравенств обычно велики, и приходится возиться (иногда долго) с подбором масштаба и построением самих прямых.

Решения и ответы:

Пример 2: Ответ:

Пример 4: Решение:
а) Построим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, например, и подставим её координаты в неравенство:

Получено неверное неравенство, значит, неравенство задаёт полуплоскость, которой не принадлежит точка , при этом прямая не входит в решение.
б) Построим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, например, и подставим её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство, значит, неравенство задаёт полуплоскость, в которой находится точка , при этом прямая входит в решение.
Ответ:

Пример 6: Решение: Составим многочлен и вычислим его значение в точке :
, следовательно, искомые точки должны удовлетворять неравенству (а значит, и условию ).
Вычислим значения многочлена в каждой из пяти точек:

Условию удовлетворяют точки .
Ответ: в одной полуплоскости с началом координат лежат точки .

Пример 8: Решение: изобразим на чертеже область решений, соответствующую заданной системе линейных неравенств:

Ответ: область решений системы ограничена ломаной и лучами .

Пример 10: Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы неравенств:

Область решений представляет собой многоугольник . Найдём координаты вершин полученной области:

Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках .

неравенства — Решение неравенств методом исключения

Было бы неплохо описать хотя бы вкратце сам метод. Хотя его идея понятна, но реализации могут быть разными, и от этого в принципе что-то может зависеть.

Также хотелось бы уточнить следующее. Пусть p=0, n=3. Верно ли я понимаю, что система в этом случае состоит из 8 неравенств? То есть в ней присутствуют все случаи распределения знаков между переменными?

@falcao, аналогично методу Гаусса для уравнений, когда из системы с n уравнениями и m неизвестными получают систему с n — 1 уравнением и m-1 неизвестными. Т.е. выделяют одну переменную x, приводят все неравенства к виду x . и сравнивают все бОльшие части со всеми меньшими. Да, 2^3 возможных вариантов распределения знаков.

@bubble: идея того, что здесь делается, мне понятна, но я уточнял постановку задачи, а также алгоритм реализации. Прежде всего, считается ли, что все неравенства имеют один и тот же вид в смысле знака? Далее, предполагается ли, что по алгоритму мы сначала исключаем неизвестную x_n, потом x_, и так далее, или порядок выбираем сами? Я бы в таких случаях всё это описывал с самого начала, что можно уподобить хорошей сервировке стола — с ножичками, вилочками и салфеточками. А не с таким способом, когда на стол вываливают сваренную горячую тушу, есть которую руками неудобно :)

@falcao, да, неравенства имеют один и тот же вид в смысле знака. Порядок выбираем сами, но думаю, что удобно по порядку убирать. Да, извините, действительно стоило не так в лоб, но это уже крик отчаяния, если честно :D

Линейные неравенства.

Линейными называются неравенства левая и правая часть которых представляет собой линейные функции относительно неизвестной величины. К ним относятся, например, неравенства:

5>4 – 6x 9-x 0 либо ax + b 0 либо ax + b 44 является математической моделью задачи о периметре параллелограмма. Если в этом неравенстве заменить переменную х на, например, число 16, то получим верное числовое неравенство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44.

Решением неравенства называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Следовательно, каждое из чисел 15,1; 20;73 выступают решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не является его решением.

Решить неравенство означает установить все его решения или доказать, что решений не существует.

Формулировка решения неравенства сходна с формулировкой корня уравнения. И все же не принято обозначать «корень неравенства».

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства.

Решая уравнение, мы меняем его другим, более простым уравнением, но равнозначным заданному. По схожей схеме находят ответ и неравенства. При смене уравнения на равнозначное ему уравнение пользуются теоремой о перенесении слагаемых из одной части уравнения в противоположную и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число. При решении неравенства есть существенное различие его с уравнением, которое заключается в том, что всякое решение уравнения можно проверить просто подстановкой в исходное уравнение. В неравенствах такой способ отсутствует, так как бесчисленное множество решений подставить в исходное неравенство не представляется возможным. Поэтому есть важное понятие, вот эти стрелочки — это знак эквивалентных, или равносильных, преобразований. Преобразование называются равносильными, или эквивалентными, если они не изменяет множества решений.

Сходные правила решения неравенств .

Если какое-либо слагаемое переместить из одной части неравенства в другую, заменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Используя эти правила вычислим нижеследующие неравенства.

1) Разберем неравенство 2x – 5 > 9.

Это линейное неравенство, найдем его решение и обсудим основные понятия.

2x – 5 > 9 2x > 14 (5 перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее поделили все на 2 и имеем x > 7. Нанесем множество решений на ось x

Нами получен положительно направленный луч. Отметим множество решений либо в виде неравенства x > 7, либо в виде интервала х (7; ∞). А что выступает частным решением этого неравенства? Например, x = 10 – это частное решение этого неравенства, x = 12 – это тоже частное решение этого неравенства.

Частных решений много, но наша задача – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.

Разберем пример 2:

2) Решить неравенство 4a – 11 > a + 13.

«Письмо турецкому султану» или линейная регрессия на C# с помощью Accord.NET для анализа открытых данных Москвы

Когда речь идет об освоении самых основ машинного обучения, чаще всего предлагается изучить соответствующие инструменты на Python или R. Мы не будем обсуждать их плюсы и минусы, а просто зададимся вопросом, что делать если вы знакомы только с экосистемой .NET, но при этом вам очень любопытно окунутся в мир науки о данных? Ответ прост, не отчаиваться и посмотреть в сторону F#, а если вы также, как и я из .NET знаете только азы C#, то попробовать изучить Accord.NET Framework.


Мы с вами уже разбирали его применение для решения задачи классификации, а в этот раз попробуем рассмотреть простейший инструментарий для линейной регрессии. Для этого мы воспользуемся открытыми данными по анализу обращений граждан взятыми с официального сайта Мэра Москвы.

Несмотря на то, что в заголовке статьи указан C#, мы попробуем собрать код и на VB.NET.

Мне осталось только пригласить вас под кат!

Чтобы избежать подобных комментариев, сразу в самом начале скажу, что я не имею никакого отношения к правительству Москвы, управам, префектурам и т.п. поэтому нет смысла мне жаловаться на их работу. Я просто случайно нашел эти данные, вручную забил их в табличку и выложил для вас на GitHub.

Ну и еще если кому любопытно, то эта статья продолжает мини-цикл, посвященный тому как я учился Data Science с нуля (и так толком не выучился), если кому интересно, то я спрятал ссылки на остальные статьи под спойлер.

Честно признаюсь я не программист, к тому же Accord.NET я изучил очень поверхностно. К сожалению по нему не так много литературы, да и учебных on-line курсов как-то сходу не нашлось, так что во многом остается только сайт разработчиков, а он не так информативен, как хотелось бы.

Поэтому с предложенным выше набором данных основные манипуляции я проводил в прошлой статье цикла (там же и более подробное описание набора данных). А в данной статье, мы со скрипом попробуем прочитать данные, обучить модель и построить какой-нибудь график.

Прежде чем начать писать код — два слова о данных.
Это открытые данные по анализу обращений граждан поступивший в адрес тех или иных органов исполнительной власти г. Москвы. Надо сказать, что статистика скудная, пока всего 22 месяца.

По факту могло бы быть – 23 месяца, но в ноябре разработчики предоставили неполный комплект данных, и я его не включил.
Данные представлены в формате csv. Столбцы данных означают следующее:

num – Индекс записи
year – год записи
month – месяц записи
total_appeals – общее количество обращений за месяц
appeals_to_mayor – общее количество обращений в адрес Мэра
res_positive- количество положительных решений
res_explained – количество обращений на которые дали разъяснения
res_negative – количество обращений с отрицательным решением
El_form_to_mayor – количество обращений к Мэру в электронной форме
Pap_form_to_mayor — количество обращений к Мэру на бумажных носителях to_10K_total_VAO…to_10K_total_YUZAO – количество обращений на 10000 населения в различных округах Москвы
to_10K_mayor_VAO… to_10K_mayor_YUZAO– количество обращений в адрес Мэра и правительства Москвы на 10000 населения в различных округах города

Я не нашел способа автоматизировать процесс сбора данных и их пришлось в итоге собирать руками, так что я мог где-то слегка ошибиться, ну и саму по себе достоверность данных оставлю на совести авторов.

Осталось рассказать буквально пару слов о самом фреймворке и можно переходить к коду.
Accord.NET – это проект с открытым исходным кодом, который тем не менее в большинстве случаев может использоваться для коммерческой разработки под лицензией LGPL. Похоже, что фреймворк имеет весь базовый инструментарий необходимый для анализа данных и машинного обучения, от проверки статистических гипотез до нейронных сетей.

Теперь можно с чистой совестью перейти к коду.
Решение с проектом на C# и VB.NET я выложил для вас на GitHub, вы можете просто его скачать и попробовать собрать (по идее должно запуститься). Если вы хотите сами создать проект с нуля, то для аналогичного функционала необходимо сделать следующее:

  1. Создать новый проект (я создал консольный проект с Net Framework 4.5).
  2. С помощью менеджера пакетов (NuGet) установить Accord.Controls версии 3.8 (он потянет все остальные нужные нам пакеты), а также Accord.IO для работы с таблицами. Также для отрисовки графика понадобится включить стандартную библиотеку Windows.Forms. Вот собственно и всё можно писать код.

Полный код на C# размещу под спойлером.

Во многом решение задачи линейной регрессии взято из примера с сайта разработчиков, там всё не очень сложно, но все же давайте разберем код по частям.

Загружаем пространства имен сторонних библиотек.

Создаем пространство имен, класс, главный метод – всё тривиально.

Определяем переменные, которые впоследствии нам пригодятся, чтобы разделить данные на контрольную и обучающие выборки.

Это нам пригодится, чтобы наш разделитель дробной части числа читался одинаково и в версии проекта на python и в версии на .NET (по крайней мере у меня).

Считываем данные из csv файла в формат таблицы данных.

Чтобы обрабатывать данные о том в какой месяц происходили обращения, необходимо перевести их в удобоваримый формат, в данном случае всё будем кодировать в тип double.
По аналогии с решением на Python мы вначале создадим словарь, а потом перекодируем данные в соответствии с ним с помощью цикла.

Выделим целевую функцию. Прогнозировать мы с вами будем число положительных решений на все обращения.
В первой строке мы вытаскиваем эти данные из таблицы преобразуя к типу double.
А затем в другие две переменные копируем позиции с 0 по 18 для учебной выборки и с 18 до 22 для контрольной выборки.

Удаляем из таблицы ненужные столбцы: нашу целевую функцию, месяцы, годы, и общее число обращений, потому что оно включает в себя сведения о положительном результате рассмотрения.

А теперь, добавим столбец с перекодированным месяцами, для начала создаём новую колонку, добавим её к таблице, а потом в цикле заполним.

По аналогии с целевой функцией создаем массивы входных данных (признаков).

Осталось создать модели. Вначале создаем объект обычной линейной регрессии, а потом на основе него создаем модель для множественной регрессии ведь у нас почти 30 признаков. Обучаем модель естественно на тренировочной выборке.

Получаем непосредственно предсказание для тренировочной выборки.

Выводим в консоль данные о спрогнозированном и реальном значениях, а также сведения об ошибке и коэффициенте детерминации.

Разработчики похоже сами советуют использовать сторонние инструменты для отображения графиков, но мы воспользуемся поставляемым с фреймворком графиком ScatterplotBox, который выводит точки. Чтобы данные были хоть как-то наглядны мы по шкале X создаем аналог временного тренда (точка 1 это января 16, последняя точка октябрь 2020), также параллельно мы классифицируем точки в другом массиве первые 22 это наши исходные данные, а последние 4 предсказанные (график раскрасит их в другой цвет).

ScatterplotBox.Show выводит окошко с графиком. Ему мы скормим наши ранее подготовленные данные для осей Х и У.

Честно признаюсь Visual Basic я не знаю, но тут нам поможет конвертер с C# на VB.NET.

Разбирать по частям код не будем, вы можете ориентироваться по оставленным в коде комментариям, они идентичны для обоих проектов и делят код на аналогичные секции.

Надо отметить, что наш проект получился вполне кроссплатформенным, поскольку его можно собрать как с помощью Visual Studio под Windows, так и с помощью MonoDevelop под Linux. Правда это справедливо, только по отношению к C#, код на VB.NET под Mono не всегда собирается без проблем.
Вместо тысячи слов лучше посмотрим на снимки экрана.

Сборка VB проекта версии 1.0.1. под Windows.

Сборка С# проекта версии 1.0.0. под Linux Mint.

Вы, наверное, обратили внимание, что результаты на картинках немного различаются.
Это не вина Mono. Всё дело в том, что в версии проекта (1.0.0) на C# собранной под Linux я забыл учесть перекодированный столбец с месяцами. А в версии проекта (1.0.1) на VB собранной в Visual Studio — учел.

Хотел вначале поправить снимки экрана, но потом подумал, что это — наглядная демонстрация того, что данный признак чуть-чуть улучшает качество предсказания.

Однако, на самом деле мы добились плохих результатов, не имеющих никакой пользы кроме учебной.

Тесты — Линейная регрессия на C#

Цель решения задачи линейной регрессии — предсказать значение числовой переменной на основе значений одной или более числовых переменных-предикторов. Например, вам может понадобиться спрогнозировать годовой доход некоей персоны на основе его уровня образования, стажа работы и пола (male = 0, female = 1).

Прогнозируемая переменная обычно называется зависимой (dependent variable), а переменные-предикторы — независимыми (independent variables). При наличии только одной переменной-предиктора этот метод иногда называют простой линейной регрессией. Когда имеются две или более переменных-предикторов этот метод называют множественной линейной регрессией (multiple, или multivariate, linear regression).

Хороший способ понять, куда я клоню в этой статье, — взглянуть на демонстрационную программу на рис. 1. Демонстрационная программа на C# прогнозирует годовой доход на основе уровня образования, стажа работы и пола. Демонстрация начинается с генерации 10 синтетических элементов данных. Уровень образование — это значение между 12 и 16, стаж работы — значение между 10 и 30. Пол является индикаторной переменной, где male — эталонное значение, кодируемое как 0, а female кодируется как 1. Доход (в тысячах долларов) записывается в последний столбец. В реальном сценарии вы, вероятно, считывали бы данные из текстового файла, используя какой-то метод с именем наподобие MatrixLoad.


Рис. 1. Линейная регрессия на C#

После генерации синтетических данных демонстрационная программа создает на их основе так называемую матрицу плана (design matrix). Это просто матрица с данными, в которой все значения в ведущем столбце содержат 1.0. Существует несколько алгоритмов, которые можно применять для линейной регрессии; некоторые из них могут использовать матрицу с исходными данными (raw data matrix), тогда как другие работают с матрицей плана. В демонстрационной программе применен метод, требующий матрицу плана.

После создания такой матрицы демонстрационная программа находит значения для четырех коэффициентов (12.0157, 1.0180, 0.5489, –2.9566). Эти коэффициенты иногда называют b-значениями, или бета-значениями. Первое значение, 12.0157, обычно называется в статистике свободным членом (intercept). Это константа, не связанная ни с какими переменными-предикторами. Значения остальных коэффициентов (1.0180, 0.5489, –2.9566) относятся к уровню образования, стажу работы и полу соответственно.

В самой последней части вывода на рис. 1 используются эти значения коэффициентов, чтобы предсказать доход гипотетической персоны с уровнем образования 14, стажем работы 12 лет и полом 0 (мужчина). Прогнозируемый доход составляет 32.86, который вычисляется так:

Иначе говоря, для прогнозирования с помощью линейной регрессии значения предикторов умножаются на соответствующие коэффициенты и суммируются. Это очень просто. Заметьте, что ведущее значение свободного члена (в этом примере — 12.0157) можно считать коэффициентом, связанным с переменной-предиктором, значение которой всегда равно 1. Отчасти этот факт объясняет наличие столбца со значениями 1.0 в матрице плана.

Суть задачи линейной регрессии заключается в вычислении значений коэффициентов, используя исходные данные или, что эквивалентно, матрицу плана. Это не так легко. В демонстрации применяется метод, называемый обращением матрицы в замкнутой форме (closed form matrix inversion), также известный как обычный метод наименьших квадратов (ordinary least squares method). Альтернативные методы нахождения значений коэффициентов включают итерационный взвешенный метод наименьших квадратов (iteratively reweighted least squares), оценку по методу максимального правдоподобия (maximum likelihood estimation), гребневую регрессию (ridge regression), градиентный спуск (gradient descent) и несколько других.

На рис. 1 демонстрационная программа, прежде чем приступить к прогнозированию, вычисляет показатель, называемый значением R-квадрата (R-squared value), или коэффициентом детерминации (coefficient of determination). R-квадрат — это значение между 0 и 1, которое описывает, насколько хорошо модель прогнозирования подходит для исходных данных. Иногда это выражают в виде «процентной доли отклонения, объясняемой моделью». В свободном толковании можно сказать так: чем ближе R-квадрат к 1, тем лучше модель прогнозирования. В демонстрационной программе это значение составляет 0.7207, или 72%, и для реальных данных оно считалось бы сравнительно высоким (хорошим).

В этой статье предполагается, что вы умеете программировать хотя бы на среднем уровне, но ничего не знаете о линейной регрессии. Демонстрационная программа слишком длинная, чтобы ее можно было представить в статье целиком, но вы найдете полный исходный код в сопутствующем этой статье пакете кода.

Что такое линейная регрессия

Линейная регрессия обычно лучше всего поясняется графиком. Взгляните на график на рис. 2. Данные на этом графике представляют прогнозируемый ежегодный доход на основе всего одной переменной — стажа работы. Каждая из темно-серых точек соответствует точке данных. Например, первый слева элемент данных соответствует стажу = 10 и доходу = 32.06. Линейная регрессия находит два коэффициента: один свободный и один для стажа. Как оказалось, значения коэффициентов равны 27.00 и 0.43.

Рис. 2. Линейная регрессия с одной независимой переменной

Income ($) Доход ($)
Actual Реальное значение
Predicted Прогнозируемое значение
Work (Years) Стаж (лет)

Значения коэффициентов определяют уравнение прямой, показанное светло-серым цветом на рис. 2. Эта линия (коэффициенты) минимизирует сумму квадратичных отклонений между точками реальных данных (yi) и точками спрогнозированных данных (fi). Два из десяти отклонений отображаются пунктирными линиями на рис. 2. Первым из этих отклонений является yi – fi = 28.6 – 32.6 = –4.0. Заметьте, что отклонения могут быть как положительными, так и отрицательными. Если бы отклонения не были квадратичными, отрицательные и положительные значения могли бы взаимно уничтожаться.

График на рис. 2 демонстрирует, как работает простая линейная регрессия всего с одной независимой переменной. Множественная линейная регрессия лишь расширяет ту же идею: нахождение коэффициентов, которые минимизируют сумму квадратичных отклонений, но с использованием нескольких независимых переменных.

Если сформулировать на интуитивном уровне, то линейная регрессия находит лучшую изо всех линий, которые можно провести через набор точек данных. Эта лучшая линия может использоваться для прогнозирования. Например, на рис. 2, если бы у гипотетической персоны было 25 лет стажа работы, его прогнозируемый доход на светло-серой линии составил бы приблизительно 38.

Решение уравнения наименьших квадратов

Если в задаче линейной регрессии имеются n переменных-предикторов, тогда нужно найти n+1 значений коэффициентов — по одному на каждый предиктор плюс свободный член (intercept). В демонстрационной программе используется самый базовый метод для нахождения значений коэффициентов. Эти значения часто даются с использованием довольно устрашающего уравнения, приведенного на рис. 3. Но это уравнение не настолько сложное, насколько может показаться с первого взгляда.

Рис. 3. Нахождение коэффициентов линейной регрессии с помощью матриц

Греческая буква «бета» напоминает латинскую «B» и представляет значения коэффициентов. Заметьте, что все буквы в уравнении имеют полужирное начертание; в математике это означает, что они представляют объекты с несколькими значениями (матрицы или массивы/векторы), а не простые скалярные величины (обычные числа). Буква X верхнего регистра представляет матрицу плана. Буква X верхнего регистра в степени T означает транспонирование матрицы плана. Символ * обозначает перемножение матриц. Степень –1 указывает на обращение матрицы. Буква Y верхнего регистра — вектор-столбец (матрица с одним столбцом) значений зависимой переменной. Поэтому нахождение значений коэффициентов на самом деле требует понимания матричных операций.

Схемы на рис. 4 иллюстрируют транспонирование, перемножение и обращение матриц. В транспонированной матрице просто меняются местами строки и столбцы. Например, у вас есть матрица 2×3, т. е. одна матрица с двумя строками и тремя столбцами. При транспонировании она превратится в матрицу 3×2, где строки исходной матрицы стали столбцами в транспонированной матрице.

Рис. 4. Три матричные операции, используемые при нахождении коэффициентов линейной регрессии

M is (2×3) M — (2×3)
MT (transpose) is (3×2 MT (транспонированная) — (3×2)
M is (3×3) M — (3×3)
M-1 (inverse) is (3×3) M–1 (обращенная) — (3×3)
A is (3×4) A — (3×4)
B is (4×2) B — (4×2)
A * B (product) is (3×2) A * B (произведение) — (3×2)

Перемножение матриц может показаться слегка странным, если вы не встречались раньше с такими операциями. Если умножить матрицу размером (n x m) на матрицу размером (m x p), результатом будет матрица размером (n x p). Например, перемножение матриц 3×4 * 4×2 дает матрицу 3×2. Подробное обсуждение перемножения матриц выходит за рамки этой статьи, но, как только вы увидите несколько примеров, процесс станет понятен, и вы сможете реализовать его в коде.

Третья матричная операция, необходимая для нахождения значений коэффициентов линейной регрессии, — обращение матрицы, что, увы, трудно понять и сложно реализовать. Для целей этой статьи достаточно знать, что обращение матрицы определяется, только когда матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов (квадратная матрица). На рис. 4 показана матрица 3×3 и ее обращение.

Существует несколько алгоритмов, применимых для обращения матрицы. В демонстрационной программе используется метод разложения Дулитла (Doolittle’s decomposition).

Подведем итоги. Задача линейной регрессии с n переменными-предикторами включает нахождение значений для n+1 коэффициентов. Это можно сделать, используя матричные операции: транспонирование, перемножение и обращение. Транспонирование и перемножение просты в понимании и реализации, но нахождение обращенной матрицы — задача трудная..

Структура демонстрационной программы

Чтобы создать демонстрационную программу, я запустил Visual Studio и выбрал шаблон C# Console Application. Я назвал проект LinearRegression. В этой программе нет значимых зависимостей от .NET Framework, поэтому подойдет любая версия Visual Studio.

После загрузки кода шаблона в редактор я переименовал в окне Solution Explorer файл Program.cs в более описательный LinearRegressionProgram.cs, и Visual Studio автоматически переименовала класс Program за меня. В начале кода я удалил все лишние выражения using, оставив только ссылку на пространство имен верхнего уровня System.

Общая структура программы с небольшими правками для экономии места представлена на рис. 5. Вся управляющая логика программы находится в Main. Демонстрационная программа использует подход на основе статических методов, а не объектно-ориентированное программирование.

Рис. 5. Структура программы, демонстрирующей линейную регрессию

Метод Income возвращает прогнозируемый доход на основе входных параметров со значениями для уровня образования, стажа работы и пола, используя массив значений коэффициентов. Метод RSquared возвращает R-квадратичное значение модели на основе данных и коэффициентов. Метод DummyData генерирует синтетические данные, применяемые в демонстрации.

Метод Design принимает матрицу данных и возвращает дополненную матрицу плана, ведущий столбец которой содержит значения 1.0. Метод Solve принимает матрицу плана и использует матричные операции для нахождения коэффициентов линейной регрессии.

Большую часть трудной работы берет на себя набор статических методов, выполняющих матричные операции. В демонстрации определена предельно простая матрица — массив массивов. Альтернатива заключается в создании класса Matrix, но, на мой взгляд, этот подход здесь неоправданно сложен. Иногда обычные массивы лучше программно определяемых объектов.

Метод MatrixTranspose возвращает транспонированную матрицу, метод MatrixProduct — результат перемножения двух матриц, а метод MatrixInverse — обращенную матрицу. В демонстрации много вспомогательных методов. В частности, метод MatrixInverse вызывает вспомогательные методы MatrixDuplicate, MatrixDecompose и HelperSolve.

Метод Solve

Центральное место в программе, демонстрирующей линейную регрессию, занимает метод Solve. Определение этого метода начинается с:

Единственным входным параметром является матрица плана (design). Можно подумать об альтернативном подходе: передавать матрицу с исходными данными, а затем заставлять Solve вызывать вспомогательный метод Design, чтобы получить матрицу плана. Вспомогательный метод MatrixCreate выделяет пространство под матрицу с указанным количеством строк и столбцов и возвращает ее. Локальная матрица X содержит значения независимых переменных (с ведущим значением 1.0). Локальная матрица Y имеет только один столбец и хранит значения зависимой переменной (в нашем примере — годовой доход).

Затем ячейки матриц X и Y заполняются, используя значения в матрице плана:


Заметьте, что переменная-индекс j объявляется вне вложенных циклов for, чтобы ее можно было использовать для заполнения матрицы Y. Располагая матрицами X и Y, вы можете найти коэффициенты линейной регрессии согласно уравнению, показанному на рис. 3:

В демонстрации матрица X имеет размер 10×4, поэтому ее транспонированная версия, Xt, получает размер 4×10. Результат произведения Xt и X имеет размер 4×4, равно как и обращение матрицы, inv. В целом, для задачи линейной регрессии с n независимыми переменными-предикторами при использовании метода обращения матрицы вам потребуется найти обращение матрицы размером (n+1)×(n+1). То есть метод обращения не годится для задач линейной регрессии с огромным числом переменных-предикторов.

Результат перемножения обращенной матрицы 4×4 и транспонированной матрицы 4×10 (в коде это переменная invXt) имеет размер 4×10. Результат перемножения invXt и матрицы Y размером 10×1 (в коде это mResult) получается размером 4×1. Эти значения являются нужными вам коэффициентами. Для удобства значения в матрице Y с одним столбцом перемещаются в обычный массив вызовом вспомогательного метода MatrixToVector.

Вычисление R-квадрата

Как уже отмечалось, показатель R-squared (R-квадрат, или коэффициент детерминации) является мерой того, насколько хорошо точки реальных данных соответствуют вычисленной линии регрессии. В математических терминах R-квадрат определяется как R2 = 1 – (SSres / SStot). Член SSres обычно называется остаточной суммой квадратов (residual sum of squares). Это сумма квадратов разности (squared differences) между реальными и предсказанными Y-значениями, как иллюстрирует график на рис. 2. Член SStot — это общая сумма квадратов (total sum of squares). Этот член является суммой квадратов разности между каждым реальным Y-значением и средним всех реальных Y-значений.

Показатель R-squared в линейной регрессии также называется коэффициентом детерминации и имеет отношение (но отличается от него) к другому статистическому показателю с названием «r-squared» («малый r-квадрат»). Интерпретация R-квадрата не совсем однозначна и зависит от предметной области конкретной задачи. В естественных и общественных науках, где данные, как правило, запутанные и неполные, значение R-квадрата от 0.6 и выше часто трактуется как довольно хорошее.

Существует альтернативная мера отклонений, поясняемая моделью регрессии, под названием «скорректированный R-квадрат» (adjusted R-squared). Этот показатель учитывает количество переменных-предикторов и число элементов данных. Для большинства целей применение обычного значения R-квадрата вполне достаточно, чтобы получить представление о прогностическом качестве модели линейной регрессии.

Заключение

Если вы поищете в Интернете примеры того, как выполнять линейную регрессию на каком-нибудь языке программирования, то не найдете много ссылок. Думаю, что есть две основные причины такой относительной нехватки информации. Во-первых, нахождение коэффициентов линейной регрессии с помощью матричных операций довольно сложно — в основном из-за операции обращения матрицы. В некоторых отношениях я считаю метод MatrixInverse в демонстрационной программе одной из самых сложных процедур, которые я когда-либо писал. Во-вторых, существует масса автономных средств, способных выполнять линейную регрессию, в частности Excel с надстройкой Data Analysis. Необходимость встраивания решения линейной регрессии прямо в код программной системы возникает относительно редко.

Линейная регрессия изучалась десятилетиями, и есть много способов расширения этого метода. Например, вы можете ввести так называемые эффекты взаимодействия, которые комбинируют две или более переменных-предикторов. Эти расширения иногда называют универсальными линейными моделями, чтобы отличать их от базовой формы линейной регрессии.

По моему мнению, линейная регрессия является своего рода «Hello World» среди методов классической статистики. Четкого и общепризнанного различия между классической статистикой и машинным обучением нет, но я склонен считать методами классической статистики те из них, которые впервые были исследованы математиками в начале 1900-х. В моем понимании методы машинного обучения вроде классификации на основе нейронных сетей появились гораздо позднее — первые упоминания встречаются в 1950-х. Линейная регрессия из классической статистики тесно связана с методом машинного обучения, называемым логистической регрессией, о которой я рассказывал в нескольких выпусках этой рубрики.

Джеймс Маккафри (Dr. James McCaffrey) работает на Microsoft Research в Редмонде (штат Вашингтон). Принимал участие в создании нескольких продуктов Microsoft, в том числе Internet Explorer и Bing. С ним можно связаться по адресу jammc@microsoft.com.

Выражаю благодарность за рецензирование статьи эксперту Microsoft Research Чарльзу Паркеру (Charles Parker).

Программирование на C, C# и Java

Уроки программирования, алгоритмы, статьи, исходники, примеры программ и полезные советы

ОСТОРОЖНО МОШЕННИКИ! В последнее время в социальных сетях участились случаи предложения помощи в написании программ от лиц, прикрывающихся сайтом vscode.ru. Мы никогда не пишем первыми и не размещаем никакие материалы в посторонних группах ВК. Для связи с нами используйте исключительно эти контакты: vscoderu@yandex.ru, https://vk.com/vscode

Симплекс-метод. Реализация

В этой статье рассматривается симплекс-метод, который применяется при решении задач линейного программирования (ЗЛП). Приводится алгоритм метода, а также его реализация на языке C#. Реализация представлена в конце статьи.

Определения

Симплекс-метод – это алгоритм, используемый при решении оптимизационной задачи линейного программирования.

Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся решением экстремальных задач (нахождением экстремума функции) на множестве пространства, заданном системой линейных уравнений и неравенств.

Оптимизация – задача нахождения минимума или максимума (экстремума) целевой функции.

Целевая функция – это функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации в целях решения какой-либо оптимизационной задачи (например, задачи объемного планирования).

Алгоритм симплекс-метода

В начале исходную задачу линейного программирования приводят к каноническому виду, затем составляют симплекс-таблицу вида:

где в столбце «базис» указываются базисные переменные, а в последней строке столбца «базис» пишется f(x). В столбец «B» записываются свободные члены ограничений bi и значение целевой функции (на 1-м этапе оно равно 0, т.е. никакой прибыли).

В столбцах xj для не базисных переменных указываются коэффициенты при не базисных переменных из ограничений задачи. В столбцах базисных переменных содержится только 0 или 1 на пересечении столбца с соответствующей строкой базисной переменной.

В последней строке -cj – это коэффициенты при переменных целевой функции взятые с противоположным знаком.

Симплекс-таблица составлена, теперь опишем сам симплекс-метод.

Шаг 1: Выполняется проверка полученного базисного плана на оптимальность по условию: если при каком-либо ДБР (допустимое базисное решение) в симплекс-таблице все коэффициенты строки f(x) (то есть -cj) не отрицательны, то данное ДБР оптимально, следовательно КОНЕЦ решения. В противном случае:

Шаг 2: Переход к новому базисному плану. Для этого из числа небазисных переменных с отрицательными значениями в последней строке (то есть -cj

Приведем также пример программы, использующей реализованный выше симплекс-метод. Решим, для примера, задачу с такими ограничениями и целевой функцией:

Демонстрация работы симплекс-метода:

Поделиться в соц. сетях:

33 комментария(ев) к статье “ Симплекс-метод. Реализация ”

Спасибо, очень полезная информация и программа!

А что нужно сделать, чтобы функции искали переменные для минимума, а не для максимума?

  1. admin Автор статьи 02.12.2020 в 10:38


Нужно поменять знак у функции: min(f(x)) = max(-f(x))

то есть сменить знаки коэффициентов при переменных? если так, то программа всё равно считает максимум

  1. admin Автор статьи 02.12.2020 в 13:21

Да. Странно, должно было сработать.

получается здесь не учитывается знак ограничения? и прога только для

  1. admin Автор статьи 11.12.2020 в 11:44

Перед вводом данных в программу задачу нужно привести к каноническому виду.

Что вы подразумеваете под привести задачу к каноническому виду? Канонический вид, это же вроде:
1)инвертировать знаки у ф-ции F
2)добавить доп.переменные, 1 если знак неравенства =, это канонический вид.

У вас же таблица на входе имеет вид —-B—X1—X2 или я что-то не понимаю? Скажите пожалуйста, как именно нужно обработать систему неравенств?

  1. admin Автор статьи 06.01.2020 в 00:54

Задача приводится к каноническому виду так, чтобы в системе ограничений знаки стали равенствами.

А в программу заносятся коэффициенты из приведённых ограничений:

b1 a11 a12 …
b2 a21 a22 …

0 -c1 -c2 …

При этом коэффициенты при базисных переменных (тех, которые вы добавляли, чтобы в ограничениях сделать равенства) НЕ нужно давать на вход программе!

Доброго времени суток. Скажите, а как, например, после решения задачи в добавок к выводу переменных сделать еще вывод значения целевой функции?

  1. admin Автор статьи 12.12.2020 в 21:31

Перед вычислениями сохраните в отдельный массив значения коэффициентов при иксах: например в массив a.

После того, как массив result будет получен, найдём значение целевой функции F:

Спасибо за ответ! Скажите, а как всё-же сделать так, чтобы выполнялось составление симплексной таблицы для решения задачи на определение минимального плана?

  1. admin Автор статьи 20.12.2020 в 22:09

1) Самый простой: привести задачу минимизации (сами исходные данные) к задаче максимизации и использовать приведённый выше алгоритм. Как преобразовать написано здесь.

2) Изменить приведённый алгоритм конкретно под задачу минимизации. При минимизации целевой функции ведущий столбец определяется по наибольшему значению в строке индексов. Читать про это подробнее.

Админ, спасибо за реализацию, а какой будет алгоритм, если мне необходимо в одной задачи использовать ограничения ‘=>’ и ‘

  1. admin Автор статьи 21.03.2020 в 07:45

Алгоритм будет точно такой же. Ведь система неравенств всё равно приводится к каноническому виду (в системе ограничений знаки становятся равенствами).

В предыдущем моём комментарии есть ссылка, там как раз есть пример с разными знаками в системе неравенств.

admin, помогите, пожалуйста, разобраться с вводом данных моей задачи. Заранее извиняюсь за столь глупый вопрос.
Ограничения:
2*y1+5*y2=1
6*y1+1*y2=1
Функция:
1*y1+1*y2 –> max


  1. admin Автор статьи 11.04.2020 в 11:38

Здравствуйте! Вот такие данные будут у Вас:

1 2 5
1 6 1
0 -1 -1

Будет ли программа работать для более, чем двух переменных? Что нужно менять в коде, кроме входной матрицы?

  1. admin Автор статьи 22.05.2020 в 22:03

Будет. В коде ничего менять не нужно.

Спасибо вам огромнейшее!

Здравствуйте. Простите за глупый вопрос, а как запустить эту программу?

  1. admin Автор статьи 17.02.2020 в 22:20

Здравствуйте! Нужно создать проект консольного приложения на C#, например, в Visual Studio, добавить в проект класс Simplex (из данной статьи) и код в классе Program заменить на тот, что представлен в статье.

Сделал так, как и описали. Но в 21 строке 13 и 29 столбцы помешает как ошибку : simplex является “пространство имен” но используется как “тип”. Не подскажете в чем причина может быть?

  1. admin Автор статьи 17.02.2020 в 23:39

Изменили в файле с классом Simplex название пространства имен “Simplex” на то, которое у вас в проекте?

Я как понял. Program.cs здесь ничего не меняем из Вашего кода. А в simplex.cs меняем namespace Simplex на namespace имя проекта, правильно?

Один фиг не получается )))

А если вот такая задача:
целевую функцию минимизировать:
801*x000 + 391*x001 + 705*x002 + 596*x010 + 472*x011 + 821*x012 + 490*x020 + 261*x021 + 710*x022 + 590*x100 + 322*x101 + 373*x102 + 496*x110 + 514*x111 + 600*x112 + 492*x120 + 405*x121 + 591*x122 + 632*x200 + 535*x201 + 533*x202 + 375*x210 + 564*x211 + 597*x212 + 288*x220 + 372*x221 + 505*x222
Ограничения
1*x000 + 1*x001 + 1*x002 + 1*x010 + 1*x011 + 1*x012 + 1*x020 + 1*x021 + 1*x022 = 1
1*x100 + 1*x101 + 1*x102 + 1*x110 + 1*x111 + 1*x112 + 1*x120 + 1*x121 + 1*x122 = 1
1*x200 + 1*x201 + 1*x202 + 1*x210 + 1*x211 + 1*x212 + 1*x220 + 1*x221 + 1*x222 = 1
1*x000 + 1*x001 + 1*x002 + 1*x100 + 1*x101 + 1*x102 + 1*x200 + 1*x201 + 1*x202 = 1
1*x010 + 1*x011 + 1*x012 + 1*x110 + 1*x111 + 1*x112 + 1*x210 + 1*x211 + 1*x212 = 1
1*x020 + 1*x021 + 1*x022 + 1*x120 + 1*x121 + 1*x122 + 1*x220 + 1*x221 + 1*x222 = 1
1*x000 + 1*x010 + 1*x020 + 1*x100 + 1*x110 + 1*x120 + 1*x200 + 1*x210 + 1*x220 = 1
1*x001 + 1*x011 + 1*x021 + 1*x101 + 1*x111 + 1*x121 + 1*x201 + 1*x211 + 1*x221 = 1
1*x002 + 1*x012 + 1*x022 + 1*x102 + 1*x112 + 1*x122 + 1*x202 + 1*x212 + 1*x222 = 1
x000 >= 0
x001 >= 0
x002 >= 0
x010 >= 0
x011 >= 0
x012 >= 0
x020 >= 0
x021 >= 0
x022 >= 0
x100 >= 0
x101 >= 0
x102 >= 0
x110 >= 0
x111 >= 0
x112 >= 0
x120 >= 0
x121 >= 0
x122 >= 0
x200 >= 0
x201 >= 0
x202 >= 0
x210 >= 0
x211 >= 0
x212 >= 0
x220 >= 0
x221 >= 0
x222 >= 0

  1. admin Автор статьи 04.10.2020 в 12:08

Количество переменных и ограничений не влияет на алгоритм решения задачи. Так что можно попробовать решить ее с помощью программы.

А как построить матрицу с такой задачей? хотя бы напишите пожалуйста строку с целевой функцией и двумя различными ограничениями

  1. admin Автор статьи 06.10.2020 в 00:43

Посмотрите выше мой ответ на комментарий Михаила (от 11.04.2020). И подобно его примеру можно построить матрицу.

Нужно учесть, что у вас задача минимизации, поэтому необходимо сделать min(f(x)) = max(-f(x)).

Поскольку в вашей задаче слишком много переменных, не будем писать здесь полную матрицу. Сокращенно примерно будет так:

1 1 1 …
1 1 1 …

0 801 391 …

Так и не смог понять, как нужно записать выражение вида =>. Можете привести пример?

  1. admin Автор статьи 21.11.2020 в 19:11

Посмотрите мой комментарий от 20.12.2020 в 22:09. Там есть вся информация по данному вопросу.

Двойное неравенство при сравнении трех чисел с плавающей точкой

Может кто-нибудь сказать мне, почему следующее не работает? (Я имею в виду без вывода)

Пока работает следующее:

Решение

Потому что нет волшебных н-ар оператор в C ++.

анализируется (так как является левоассоциативным) как

а также 0.0001 возвращает значение типа bool со значением true , Теперь у вас есть

но согласно стандарту true логическое значение имеет значение 1 при преобразовании в целочисленный тип, поэтому у вас есть

Другие решения

Если вы имеете в виду просто вы не понимаете, что 0.0001 означает или почему он не соответствует ожидаемому: C ++ определяет только двоичные версии операторов сравнения. Так 0.0001 нет ни одного сравнения всех трех значений; это сравнение двух значений, а затем еще одно сравнение третьего значения с результатом другого сравнения. То есть 0.0001 такой же как (0.0001 такой же как true такой же как 1

Если вы имеете в виду, почему C ++ не определил операторы для работы так, как вы хотите, это потому, что никто не видел достаточной ценности в том, чтобы заставить C ++ работать таким образом.

Системы линейных неравенств. Решение систем линейных неравенств

Системой линейных неравенств – называют несколько линейных неравенств, которые должны выполняться одновременно

Примеры не систем линейных неравенств:

— а это совокупность линейных неравенств, а не система

Решение систем линейных неравенств

Чтобы решить систему неравенств мы должны найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе.

Пример: Решим систему \(\beginx>4\\x\leq7\end\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку , то есть любой икс из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Если в системе находятся требующие преобразований неравенства, то при решении системы каждое неравенство независимо от других преобразовывается к одному из видов: \(x c\), \(x\leq c\), \(x\geq c\). И только после этого ищут общее решение, пересекая решения неравенств на числовой оси.

Перенесем \(-4\) и \(-0,3\) в правую сторону, меняя при этом их знак

Отметим решения на числовой оси

Запишем общее решения неравенств

\(\beginx двойные неравенства . Они притворяются, что совсем не системы, но на самом деле еще какие системы!

Например:
— неравенство \(3 3\\x-1 переменных . А вот второе лучше решать как систему из-за того, что иксы есть во всех трех частях неравенства.

Цукерберг рекомендует:  Форма подписки по e-mail ( Ajax и JSON )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все языки программирования для начинающих
\(\begin3>4\\x\leq7\end\) – первое неравенство не линейное, а числовое
\(\begin2x^<2>-5\geq11\\3+\frac<1>>7\end\) – первое неравенство квадратное , второе дробно-рациональное , т.е. оба не линейные
\(\left[ \begin 2x\leq19 \\ 3x -1\\ \end \right.\)