C++ — Система хищник-жертва (модель Лотки-Вольтерры) — C++


Содержание

C++ — Система хищник-жертва (модель Лотки-Вольтерры) — C++

Система уравнений Лотки – Вольтерры находит применение не только в природе, но также часто используется при моделировании экономических систем. При этом часто экономические системы сравниваются с биологическими, где в качестве энергии выступает биомасса, а в экономических системах – капитал. Эти уравнения применимы при моделировании различных типов взаимодействия между видами, таких как системы «хищник ? жертва», «паразит ? хозяин», конкуренции так далее.

Опишем на математическом языке данное взаимодействие. В математической форме оно имеет следующий вид:

где x – количество жертв; y – количество хищников; t – время; α, β, γ, δ – коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Допустим, у нас есть закрытый ареал, существа которого не иммигрируют и не эмигрируют. Также допустим, что еды для травоядных животных у нас имеется с избытком.

Диаграмма причинно-следственной связи данной системы представлена на рис. 1.

Тогда уравнение изменения количества жертв примет вид:

где α – это коэффициент рождаемости жертв; x – это величина популяции жертв; – это скорость прироста популяции жертв.

Рис. 1. Пищевой обмен в системе «хищник-жертва»

Так как хищники стабильным питанием не обеспечены, то они вымирают. Следовательно, уравнение для хищников примет вид

где γ – это коэффициент убыли хищников; y – это величина популяции хищников; – это скорость прироста популяции хищников.

Таким образом, при встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине xy) происходит поглощение жертв с коэффициентом β и рождение новых хищников с коэффициентом δ. С учётом этого получаем систему уравнений:

В статье будет произведен обзор некоторых наиболее интересных моделей с применением системы дифференциальных уравнений Лотки – Вольтерры, с кратким авторским выводом по каждой из них.

«Динамическая городская модель Лотки – Вольтерры»

Это модель динамики развития популяции отношения городского населения к стране и отношения среднего дохода городского населения к среднестрановому, рассмотрена в работе D-J.F. Kamann и P. Nijkamp [3].

Население городов может представлять колеблющиеся паттерны в зависимости от их правильного использования экономии масштаба от экономической производительности города и от инкубационного потенциала. Авторы доказывают, что многие города США показывают стабильное динамическое поведение, похожее на спиралевидный путь, на основе использования двух ключевых переменных, выражающих городскую динамику: относительная популяция и доход на душу населения. Два дифференциальных уравнения, выраженных через отношение городского населения к национальному и отношение городского среднего дохода к среднему национальному доходу, показывают эволюцию популяции согласно модели Лотки –Вольтерры «хищник – жертва».

Модель выглядит следующим образом:

где i – зона рассмотрения; x – население; y – средний доход; a и β – динамические параметры.

Авторами были обнаружены различные интересные результаты по исследованию американских городов, которые подтверждают применимость модели Лотки – Вольтерры «хищник-жертва» для моделирования динамики городского населения. Главным достоинством модели является ее гибкость, выраженная в возможности генерировать широкий спектр динамического поведения городов, включая как стабильную, так и нестабильную динамику. Основным недостатком модели является недостаток экономических и статистических тестов, которые могли бы служить для более точной интерпретации результатов реализации модели. Также недостатком является отсутствие микроданных, безусловно влияющих на динамику городского населения и доходы населения [1], среди которых: предпринимательская активность жителей, различные программы стимулирования экономического роста муниципальными или федеральными органами.

Динамика конкуренции
на фондовой бирже на основе модели «хищник-жертва»

TheodoreModis [4] исследует конкуренцию на фондовой бирже, где существуют два вида конкуренции: между компаниями,
торгующимися на бирже, через их цену, а также между инвесторами, охотящимися за компаниями. Автор в исследовании для моделирования этих процессов также берет за основу систему уравнений Лотки – Вольтерры.

В рамках данной работы все акции на Нью-Йоркской фондовой бирже разделены на две группы или популяции: первая – это вся фондовая биржа как целое: несмотря на взаимосвязи с другими фондовыми биржами по всему миру, автор этой работы рассматривает Нью-Йоркскую биржу как отдельную нишу, где существуют свои правила, традиции и культура. В ней совершается более 80 % все фондовых транзакций в США, и это важнейшая фондовая биржа в мире. Вторая популяция – это индекс Доу-Джонс. 30 «голубых фишек», торгующих на Нью-Йоркской бирже, образуют свою микросистему внутри большой биржи. Они все подобны в некотором роде, иногда выражая себя как единственную альтернативу для потенциального инвестора. Также будет разумно предположить, что каждая из этих 30 компаний ведет себя на рынке как самостоятельное существо. Это подтверждается тем, что развитие индекса Доу-Джонс во времени подвержено собственному тренду движения на рынке, отличному от тех, которые образуют некоторые из «голубых фишек» в этом индексе за тот же период времени.

Преимуществом модели безусловно является глубоко проведенный анализ статистической информации по выявлению шаблонного поведения данных популяций, в разные исторические периоды. Это позволило TheodoreModis достаточно полно обосновать применимость модели Лотки – Вольтерры для моделирования рыночных процессов. Однако недостатком ее является отстраненность от фундаментальных причинразвития фондового рынка, с большой вероятностью влияющих на поведение моделируемых популяций.

Моделирование процессов
в банковской системе на основе модели
Лотки – Вольтерры

В данной модели автором AdrianComes [5] производится анализ банковской системы через аналогию с биологическими системами и применением трехуровневой системы дифференциальных уравнение Лотки – Вольтерры «хищник-жертва».

В экологических системах происходит передача энергетической биомассы от травоядных к хищникам и от растений к травоядным. Аналогично в банковской системе происходит трансфер капитала от Центрального Банка к обычным банкам и далее к частным лицам и компаниям (таблица ).

В данном исследовании объектом изучения являются частные лица (поставщики/клиенты). Для имитации процессов в банковской системе используется трехуровневая модель Лотки – Вольтерры – система дифференциальных уравнений, анализирующих равновесие банковского сектора. Решением является идея найти динамическую точку равновесия в банковской системе методом Фоккера – Планка – Колмогорова.

Система дифференциальных уравнений данной модели выглядит следующим образом:

Так называемая трехуровневая модель Лотки – Вольтерры, рассматриваемая в этой работе, представляет собой систему уравнений по описанию передачи капитала в финансовой цепи. Главный хищник в ней – Центральный Банк, питающийся на обычных банках, которые он кредитует, а они, в свою очередь, питаются на финансовых ресурсах частных лиц и компаний. Автору удается найти некую точку в банковской системе путем нахождения оптимальных параметров математическими методами, при которой система приходит в равновесие и популяции мирно продолжают сосуществовать.

На наш взгляд, автором применен очень оригинальный подход к моделированию банковской системы, который, на первый взгляд, кажется вполне обоснованным с применением аналогий с биологическими системами. Однако автору недостает анализа реальных исторических данных по работе банковской системы, а также не учитывается при этом возможность эмиссии Центральным Банком денежных средств.

Математическое моделирование динамики популяций

Построение математической модели динамики популяций при помощи электронной таблицы MS Excel. Применение уравнения Лотка-Вольтерра как модели динамики системы «хищник-жертва». Контроль над численностью популяций живых организмов в экологических системах.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 02.04.2020
Размер файла 659,9 K

Соглашение об использовании материалов сайта

Просим использовать работы, опубликованные на сайте, исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Создание математической модели бистабильной системы «нагреватель-охлаждающая жидкость». Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка. Обзор особенностей компьютерного построения модели динамической системы развития двух популяций.

контрольная работа [1,1 M], добавлен 20.10.2014

Формальная процедура классификации возможных взаимодействий численности популяций в экосистемах. Моделирование логистической структуры в Matlab. Составление дифференциальных уравнений и программы изменения количества популяций биологических сообществ.

курсовая работа [2,5 M], добавлен 02.03.2011

Оптимизационные модели на производстве. Компьютерное моделирование и программные средства. Трехмерное моделирование в T-Flex. Инженерный анализ в ANSYS. Интерфейс табличного процессора MS Excel. Построение математической модели задачи, ее реализация.

курсовая работа [5,2 M], добавлен 13.04.2014

Построение концептуальной модели системы и ее формализация. Алгоритмизация модели системы и ее машинная реализация. Построение логической схемы модели. Проверка достоверности модели системы. Получение и интерпретация результатов моделирования системы.

курсовая работа [67,9 K], добавлен 07.12.2009

Исследование метода математического моделирования чрезвычайной ситуации. Модели макрокинетики трансформации веществ и потоков энергии. Имитационное моделирование. Процесс построения математической модели. Структура моделирования происшествий в техносфере.

реферат [240,5 K], добавлен 05.03.2020

Стационарные решения уравнения теплопроводности в характерных точках внутри диапазона бистабильности, построение фазового портрета. Создание компьютерной модели динамики материальной точки в поле кольца Тора. Представление системы в виде 3D-анимации.

курсовая работа [500,3 K], добавлен 26.12.2014

Алгоритм симплекс-метода. Задача на определение числа и состава базисных и свободных переменных, построение математической модели. Каноническая задача линейного программирования. Графический метод решения задачи. Разработки математической модели в Excel.

курсовая работа [1,1 M], добавлен 18.05.2013

Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов «Автомеханик» и «Инструмент». Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.

курсовая работа [663,9 K], добавлен 10.06.2014

Проведение анализа динамики валового регионального продукта и расчета его точечного прогноза при помощи встроенных функций Excel. Применение корреляционно-регрессионного анализа с целью выяснения зависимости между основными фондами и объемом ВРП.

реферат [1,3 M], добавлен 20.05.2010

Построение концептуальной модели и метод имитационного моделирования. Определение переменных уравнений математической модели и построение моделирующего алгоритма. Описание возможных улучшений системы и окончательный вариант модели с результатами.

курсовая работа [79,2 K], добавлен 25.06.2011

Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале

Дата публикации: 17.07.2014 2014-07-17

Статья просмотрена: 8868 раз

Библиографическое описание:

Гасратова Н. А., Столбовая М. В., Бойцов Д. С., Степанова Д. С. Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале // Молодой ученый. — 2014. — №11. — С. 1-10. — URL https://moluch.ru/archive/70/12111/ (дата обращения: 14.11.2020).

Поставлена математическая задача о двух взаимодействующих на линейном ареале популяциях по принципу хищник-жертва (модель Вольтерра). Математическая модель представляет собой краевую задачу для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Исследуется устойчивость стационарных состояний. Для построения численного решения используется вариационный метод с представлением решений в виде тригонометрических рядов. Дана оценка зависимости амплитуды и частоты затухающих колебаний от параметров, характеризующих подвижность особей. Теоретические результаты сопоставляются с результатами численных экспериментов.

Ключевые слова: популяция, краевые задачи, математическое моделирование.

Введение. Математическому моделированию системы «хищник-жертва» посвящено большое число работ [1–3, 6–8, 32, 44, 50, 57–59, 62–68, 70]. Как правило, математическая часть моделей представлена задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В таких моделях не учитывается пространственное распределение особей. Реальные популяции живут на ограниченных территориях с различными свойствами среды обитания в разных ее частях [5, 11, 16, 34, 41, 45, 51, 60, 68]. Часть особей по различным причинам (например, в поисках пищи или свободных мест обитания) склонна к перемещению по территории. Как показывает анализ результатов полевых наблюдений [16, 45, 51, 59, 60] перемещение особей происходит случайным образом. В моделях с распределенными параметрами, в которых учитывается пространственное распределение особей популяции, вводится плотность популяции на единицу длины, площади или объема, и считается, что особи распределены в пространстве. Среда обитания считается сплошной, что позволяет использовать аппарат дифференциальных уравнений в частных производных, широко применяемый при разработке математических моделей сплошных сред с нелинейными свойствами [17, 20, 27, 37–40, 47–49, 56, 61, 68, 69].

Цукерберг рекомендует:  Java - Помощь совсем новичку с кодом

В природных условиях изменение численности популяции носит колебательный характер. Колебания численности связаны с реакцией популяции на внешние воздействия и внутренние изменения в биоценозе. Период и амплитуда колебаний зависят от механизмов регуляции численности популяции, особенностей вида и от условий его существования. Существенное влияние на биоценозы оказывает и производственная деятельность человека, приводящая к изменению условий существования флоры и фауны. Для учета негативных последствий, вносимых человеком нарушений в ход эволюционных процессов, в модели популяционной биологии необходимо подключать модели математической экономики [14, 15, 35, 36, 43].

Точечная модель хищник-жертва. Математическая модель, описывающая динамику численности двух популяций, взаимодействующих по принципу хищник-жертва, была предложена Лотка и Вольтерра [7].

В этих уравнениях и численности популяций жертвы и хищника соответственно, –удельнаяскорость роста популяции жертвы в отсутствие хищника, — константа, характеризующая скорость потребления популяцией хищника особей популяции жертвы, – удельная скорость смертности хищника, –константа, характеризующая скорость увеличения численности хищника за счет уничтожении им жертвы. Стационарной точкой системы уравнений (1) является , . Эта стационарная точка устойчива, является центром, в ее окрестности происходят гармонические колебания численности обеих популяций с частотой [3].

Модель Вольтерра объясняет одну из причин колебаний в системе «хищник-жертва», но она, как правило, плохо согласуется с экспериментальными данными. Так, например, в работах [33, 41, 45, 51] приводятся данные по численности различных видов хищников и жертв. Авторы отмечают, что в динамике экстремумы численности жертв и хищников совпадают — модель Вольтерра такой результат не дает. Не удается с высокой степенью точности описать и динамику изменения численности популяций в системе «хищник-жертва», поскольку одновременно оценить значения всех констант, входящих в (1), для реальных популяций не просто [21–25]. Наиболее точно можно оценить удельные скорости рождения и смертности и, соответственно период колебаний [3, 5]. По данным статистического учета особей по площадям или индивидуальным участкам [16, 41, 51, 59, 60] можно оценить значения и и, соответственно, значения констант и .

Результаты сопоставления расчетных ( , , , ) и экспериментальных данных, приведенных в [45], представлены на рис. 1 для жертвы, а на рис. 2 для хищника. Символом отмечены экспериментальные данные, сплошными линиями — расчетные. Как следует из анализа этих результатов, теоретические результаты в лучшем случае могут предсказать лишь период колебаний . Но вместе с этим понятно, что модель Вольтерра не учитывает многочисленные факторы, влияющие на численность популяций, одним из которых является неоднородность среды обитания.

Рис. 1. Изменение численности жертвы во времени

Рис. 2. Изменение численности хищника во времени

Модель хищник-жертва на линейном ареале. Примерами линейных ареалов служат трубопроводы, обочины дорог, лесные просеки [3, 5, 11, 16, 34, 45, 51, 52, 58, 59 60, 68]. Математическая модель «хищник-жертва» (1) на отрезке с учетом замены переменных [3]

представляется системой двух эволюционных уравнений [4, 12, 18, 19, 56, 58,59, 62, 68]

В этих уравнениях — координата, — время, и — линейные плотности популяций, и — параметры, характеризующие подвижности особей.

В качестве начальных условий задается значение функций и в начальный момент времени: при , .

В качестве граничных условий для случая отрезка длиной рассматриваются два варианта:

Условие обращения в ноль функций и на границе отрезка соответствует невозможности существования популяции в этой точке, а условие обращения в ноль производных и (условие наполнения среды [13, 29, 30, 31, 44, 50, 58, 59, 68]) допускает свободный рост численности популяций.

Общие численности жертвы ( ) и хищника ( ) на отрезке в момент времени подсчитываются по формулам

Устойчивость решений. Встационарном случае системе уравнений (2) при граничных условиях (3) или (4) удовлетворяет тривиальное решение , . Возмущение этого равновесного состояния представляется в виде [9, 10, 26, 29–31, 53] , , где и малые по сравнению с единицей величины: , . Тогда уравнения (2) с точностью до величин второго порядка малости [19, 26, 30] приводятся к виду

Решение первого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (3), представляется в виде тригонометрического ряда

При этом коэффициенты разложения должны удовлетворять уравнениям [56]

Из первого уравнения находится, что будет возрастающей функцией времени. То есть решение будет неустойчивым.

Решение первого уравнения в (5), удовлетворяющее граничным условиям (4), представляется в виде тригонометрического ряда

При этом коэффициенты разложения должны удовлетворять уравнениям

Отсюда следует, что при выполнении неравенства все коэффициенты будут убывающими функциями времени и, соответственно, решение будет устойчивым. Последнее означает, что при высокой подвижности особей жертвы малочисленная популяция в рассматриваемой модели погибает. Аналогичный результат получен в [13, 31] для одиночной популяции.

Для случая граничных условий (3) в стационарном случае уравнениям (2) удовлетворяют , . В окрестности этого решения решение уравнений (2) представляется в виде [26]

где и малые по сравнению с единицей величины: , . Тогда уравнения (2) с точностью до величин второго порядка малости приводятся к виду

Решение этих уравнений представляется в виде тригонометрических рядов [56]

Коэффициенты разложения и должны удовлетворять системе обыкновенных дифференциальных уравнений ( )

Собственные значения матрицы Якоби правой части этих уравнений удовлетворяют квадратному уравнению

При будут иметь отрицательные вещественные части, а . То есть все коэффициенты и при будут убывающими функциями времени, а коэффициенты и будут изменяться по гармоническому закону. То есть при малых отклонениях от стационарного решения , возникнут периодические по времени колебания, а решение со временем стремится к гомогенному по пространственной переменной.

Численное решение. Построить аналитическое решение нелинейных уравнений (2) не представляется возможным. Поэтому используются различные методы аппроксимаций уравнений (2) или их решений. Наибольшее распространение получили конечно-разностная аппроксимация уравнений и вариационные методы, основанные на представлении решения в виде линейной комбинации аналитических функций [13, 19, 20, 28, 31, 32, 42, 44, 46, 54, 55]. Численное решение уравнений (2), удовлетворяющее граничным условиям (4) на отрезке ищется в виде суммы тригонометрических функций [42, 44, 56]

Система функций ( ) удовлетворяет граничным условиям (4), является полной и ортогональной на отрезке . После подстановки выражений (6) в уравнения (2), умножения последних на ( ) и последующего интегрирования по промежутку будет получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов и ( )

Начальные условия для функций и ( ) определяются из соотношений

Для одного члена разложения ( ) в (5) для случая отрезка единичной длины ( ) коэффициенты и удовлетворяют уравнениям

Нетривиальная стационарная точка этих уравнений со значениями

реализуется, если выполняется неравенство .

Собственными значениями матрицы Якоби

в этой стационарной точке будут

Как следует из этих соотношений в первом приближении в системе возникают колебания с частой . Частота колебаний растет с увеличением подвижности хищника (параметр ) и уменьшается, если растет подвижность жертвы (параметр ). При этом, как это следует из (8), увеличение подвижности хищника приводит и к увеличению амплитуды колебаний у жертвы. Амплитуда колебаний хищника от его подвижности в первом приближении не зависит.

Анализ поведения решения при большем числе слагаемых в представлениях (6) не представляется возможным без использования численных методов. Решение задачи Коши для системы уравнений (7) осуществлялось с применением численных методов типа Рунге-Кутты [46]. Некоторые из результатов численных экспериментов приведены на рис. 3–7.

Рис. 3. Значения коэффициентов ( ) в момент времени

Рис. 4. Значения коэффициентов ( ) в момент времени

Рис. 5. Зависимость функций и от времени

Рис. 6. Зависимость функций и от координаты в момент времени

Рис. 7. Зависимость функции от координаты в момент времени при , и

На рис. 3 отражены значения коэффициентов ( , ), а на рис. 4 — , в момент времени при и (подвижности хищников и жертв одинаковы). Из анализа этого результата следует, что при решении уравнений вариационным методом с высокой степенью точности можно ограничиться 4–5 членами в представлении (6). На рис. 5 отражено изменение функций и (общей численности популяции жертвы и популяции хищника на отрезке) во времени при , , (подвижности хищника значительно больше подвижности жертвы), а на рис. 6 — изменение функций и от координаты в момент времени . Влияние подвижности хищника (параметра ) на распределение плотности популяции жертвы отражено на рис. 7 ( , , ). Как следует из полученных результатов при высокой подвижности хищника в системе возникают затухающие колебания (рис. 5), в отличие от результатов, полученных для одного слагаемого в (6). Плотность популяции жертвы в окрестности точки растет с ростом подвижности хищников (рис. 7) и одновременно растет и общая численность популяции жертвы.

Заключение. Учет неоднородности среды в математической модели хищник-жертва Вольтерра приводит к результатам, которые не дает точечная модель. Основной из них: от подвижности особей, как хищника, так и жертвы может зависеть общая численность популяций. При высокой подвижности особей популяция жертвы может погибнуть. Рост подвижности особей популяции хищника приводит к уменьшению периода возникающих колебаний и к увеличению численности жертвы.

1. Апонин Ю. М., Апонина Е. А. Математическая модель сообщества хищник — жертва с нижним порогом численности жертвы // Компьютерные исследования и моделирование. — 2009. — Т. 1. — № 1. — С. 51–56.

2. Апонин Ю. М., Апонина Е. А. Принцип инвариантности Ла-Салля и математические модели эволюции микробных популяций // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3. — № 2. — С. 177–190.

3. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003. — 368 с.

4. Балыкина Ю. Е., Колпак Е. П. Математические модели функционирования фолликула щитовидной железы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2013. — № 3. — С. 20–31.

5. Бигон М., Харпер Дж., Таунсенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества: в двух томах. М.: Мир, 1989. Т. 1. — 667 с. Т. 2. — 477с.

6. Будянский А. В., Цибулин В. Г. Моделирование пространственно-временной миграции близкородственных популяций // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3. — № 4. — С. 477–488.

7. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Москва-Ижевск:, Институт компьютерных технологий, 2004. — 288 с.

8. Гайко В. А. Глобальный бифуркационный анализ квартичной модели «хищник–жертва» // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3. — № 2. — С. 125–134.

11. Гилев А. В. Закономерности пространственного распределения и научные основы охраны рыжих лесных муравьев // Зоологический журнал. — 2010. — Т. 89. — № 12. — С. 1413–1420.

12. Глызин С. Д. Разностная аппроксимация уравнения «реакция — диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. — 2009. — Т. 16. — № 3. — С. 96–116.

13. Горбунова Е. А., Колпак Е. П. Математические модели одиночной популяции // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. — 2012. — Вып. 4. — С. 18–30.

14. Григорьева К. В., Иванов А. С., Малафеев О. А Статическая коалиционная модель инвестирования инновационных проектов // Экономическое возрождение России. — 2011. — № 4. — С. 90–98.

15. Григорьева К. В., Малафеев О. А. Динамический процесс кооперативного взаимодействия в многокритериальной (многоагентной) задаче почтальона // Вестник гражданских инженеров. — 2011 — № 1. — С. 150–156.

16. Громов В. С. Пространственно-этологическая структура популяций грызунов. М.: Т-во научн. изданий КМК, 2008. — 581 с.

20. Кабриц С. А. Мальков В. М., Мансурова С. Е. Математическое моделирование нелинейной деформации эластомерного слоя // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2011. — № 3. — С. 56–63.

25. Колокольцов В. Н., Малафеев О. А. Динамические конкурентные системы многоагентного взаимодействия и их асимптотическое поведение (часть I) // Вестник гражданских инженеров. — 2010 — № 4 — С. 144–153.

26. Колпак Е. П. Устойчивость и закритические состояния безмоментных оболочек при больших деформациях // диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Санкт-Петербург, 2000.

27. Колпак Е. П. Введение в механику сплошных сред учебное пособие / Е. П. Колпак; С.-Петерб. гос. ун-т. СПб. 2004.

28. Колпак Е. П., Балыкина Ю. Е., Котина Е. Д., Жукова И. В. Математическая модель нарушений функционирования щитовидной железы // Молодой Ученый. — 2014. — № 2(61). — С. 19–24.

29. Колпак Е. П., Горбунова Е. А., Балыкина Ю. Е., Гасратова Н. А. Математическая модель одиночной популяции на билокальном ареале // Молодой ученый. — 2014. — № 1 (6). — С. 28–33.

34. Коробченко М. А. Расширение ареала крота европейского (talpa europaea) в долине реки Северный Донец // Зоологический журнал. — 2009. — Т. 88. — № 4. — С. 465–472.

35. Малафеев О. А., Пахар О. В. Динамическая нестационарная задача инвестирования проектов в условиях конкуренции // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2009. — № 41. — С. 103–108.

36. Малафеев О. А., Соснина В. В. Модель управления процессом кооперативного трехагентного взаимодействия // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2007. — № 39. — С. 131–144.

41. Мамонтов С. Н. Распределение по стволу дерева короеда-типографа (ips typographus, coleoptera, scolyniddae) и его энтомогафов // Зоологический журнал. — 2009. — Т. 88. — № 9. — С. 1139–1145.

44. Мятлев В. Д., Панченко Л. А., Ризниченко Г. Ю., Терехин А. Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели. М.: Издательский центр «Акадкмия», 2009. — 320 с.

45. Окулова Н. М., Катаев Г. Д. Взаимосвязи «хищник-красно-серая полевка» в сообществах позвоночных животных Лапландского заповедника // Зоологический журнал. — 2007. — Т. 86. — № 8. — С. 989–998.

47. Пронина Ю. Г. Периодическая задача о точечных воздействиях в упругой полуплоскости с отверстиями // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — № 3. — С. 118–128.

50. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. Москва — Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2004. — 464 с.

51. Садыков О. Ф., Бененсон И. Е. Динамика численности мелких млекопитающих: Концепции, гипотезы, модели. М.: Наука, 1992. — 191 с.

52. Свирежев Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М: Наука, 1987. — 368 с.

56. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1972. — 735 с.

58. Тютюнов Ю. В. Пространственная модель развития устойчивости насекомых-вредителей к трансгенной инсектицидной сельскохозяйственной культуре // Биофизика. — 2007. — Т. 52. — № 1. — С. 95–113.

59. Тютюнов Ю. В., Загребнева А. Д., Сурков Ф. А., Азовский А. И. Микромасштабная пятнистость распределения веслоногих рачков как результат трофически обусловленных миграций // Биофизика. — 2009. — Т. 54. — Вып. 3. — С. 508–514.

60. Уморин П. П. Роль хищников в устойчивом существовании нескольких видов водорослей // Биология внутренних вод. — 2009. — № 1. — С. 3–7.

61. Черных К. Ф., Кабриц С. А., Колпак Е. П., Слепнева Л. В. Точные решения краевых задач нелинейной теории упругости // отчет о НИР № 96–01–00739 (Российский фонд фундаментальных исследований).

62. Чеснокова О. И., Мелких А. В. Имитационное моделирование направленного движения в условиях градиента освещенности // Компьютерные исследования и моделирование. — 2012. — Т. 4. — № 2. — С. 401–406.

63. Abrams P. A., Chad E., Brassil C. E., Robert D., Holt R. D. Dynamics and responses to mortality rates ofcompeting predators undergoing predator–prey cycles // Theoretical Population Biology. — 2003. — V. 64. — P. 163–176.

64. Garvie M. R. Finite-difference schemes for reaction–diffusion equations modeling predator–prey interactions in Matlab // Bulletin of Mathematical Biology. — 2007. — V. 69. — P. 931–956.

65. Ge w., Gui z. The effect of harvesting on a predator–prey system with stage structure // Ecological Modelling. — 2005. — V. 187. — P. 329–340.

66. Jones L. E., Ellner S. P Evolutionary Tradeoff and Equilibrium in an Aquatic Predator–Prey System // Bulletin of Mathematical Biology. — 2004. — V. 66. — P. 1547–1573.

67. Lopez-Sanchez J. F., Alhama F., Gonzalez-Fernandez C.F Introduction and permanence of species in a diffusive Lotka-Volterra system with time-dependent coefficients // Ecological Modelling. — 2005. — V. 183. P. 1–9.

68. Murray D. D. Mathematical biology. N. Y. Springer. 2002. — 551 p.

Система «хищник-жертва»

Система «хищник-жертва» — сложная экосистема, для которой реализованы долговременные отношения между видами хищника и жертвы, типичный пример коэволюции.

Отношения между хищниками и их жертвами развиваются циклически, являясь иллюстрацией нейтрального равновесия [1]

Биологическая система Править

Приспособления, вырабатываемые жертвами для противодействия хищникам, способствуют выработке у хищников механизмов преодоления этих приспособлений. Длительное совместное существование хищников и жертв приводит к формированию системы взаимодействия, при которой обе группы устойчиво сохраняются на изучаемой территории. Нарушение такой системы часто приводит к отрицательным экологическим последствиям.

Негативное влияние нарушения коэволюционных связей наблюдается при интродукции видов. В частности, козы и кролики, интродуцированные в Австралии, не имеют на этом материке эффективных механизмов регуляции численности, что приводит к разрушению природных экосистем.

Математическая модель Править

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов $ x $ , число лис $ y $ . Используя Модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Вольтерра — Лотки:

$ \begin \dot x=(\alpha -c y)x;\\ \dot y=(-\beta+d x) y. \end $

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра — Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Поведение модели Править

Групповой образ жизни хищников и их жертв радикально меняет поведение модели, придает ей повышенную устойчивость.

Обоснование: при групповом образе жизни снижается частота случайных встреч хищников с потенциальными жертвами, что подтверждается наблюдениями за динамикой численности львов и антилоп гну в парке Серенгети [2]

История Править

Модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа «хищник — жертва» называется также моделью Вольтерра — Лотки.

Была впервые получена А. Лоткой в 1925 году (использовал для описания динамики взаимодействующих биологических популяций).

В 1926 году (независимо от Лотки) аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра. Его глубокие исследования в области экологических проблем создали основу математической теории биологических сообществ (математической экологии). [3]

C++ — Система хищник-жертва (модель Лотки-Вольтерры) — C++

Попробуем при помощи электронной таблицы Excel смоделировать динамику численности двух популяций, выбрав такие значения констант:

Цукерберг рекомендует:  Сайт - Хостинг для сайта
r1 = 0,1 p1 = 0,001 d2 = 0,05 p2 = 0,00005
(выбранные значения можно будет поменять, но это уже следующий уровень сложности работы).
Создайте новую книгу, в которой на первом листе будут три столбца — номер поколения, численности жертвы и хищника (см. рис. справа). Введите номер поколения (естественно, 1), а также начальную численности жертв (1000 особей) и хищников (100 особей). Чтобы не нумеровать поколения вручную (а заодно потренироваться в ведении формул в ячейки таблицы), поступим так:
В ячейке А3 (под единицей) кликнем левой кнопкой мыши (активизируем ее) и введем
=A2+1 и нажмем [Enter] . (т.е. в этой ячейке значение будет на единицу больше, чем в предыдущей).
Теперь к квадратику в правом нижнем углу активной ячейки ( А3 ) подведем курсор мыши, и тогда он примет вид крестика. Нажав левую кнопку мыши, растянем эту ячейку вниз на столько поколений, на сколько сочтете нужным.
Теперь введем в ячейку В3 формулу Уравнения Лотка-Вольтерра для жертвы (вместо значений N1 и N2 пользуемся номерами ячеек, в которых они находятся — В2 и С2 соответственно, а цифровые значения — из таблицы выше):
=0,1*B2-0,001*B2*C2+B2 и нажмем [Enter]
(появление еще одного слагаемого, B2 , связано с тем, что формула показывает изменение начальной численности, т.о. чтобы получить количество особей второго поколения, необходимо прибавить к выражению численность предыдущего поколения).
Теперь к квадратику в правом нижнем углу активной ячейки ( В3 ) подведем курсор мыши (он опять примет вид крестика) и, нажав левую кнопку, растянем и эту ячейку вниз на столько поколений, на сколько сочтете нужным. При этом численность жертвы начнет экспоненциально возрастать, т.к. во всех поколениях, кроме первого (по мнению программы), хищников нет.
Теперь введем в ячейку С3 формулу для хищника (также вместо значений N1 и N2 пользуемся номерами ячеек В2 и С2 и цифровыми значениями из таблицы выше):
=0,00005*B2*C2 — 0,05*C2+C2 и нажмем [Enter]
Теперь снова растянем активную ячейку ( С3 ) на выбранное число поколений.
Вы видите, что численности установятся на исходных значениях 1000 и 100 особей соответственно, т.е. популяции находятся в равновесии. Разбалансируем систему. Для этого изменим, например, численность жертвы (кликнув на ячейке В2 , введем в строке формул новое значение — например, 500 и нажмем [Enter] ). Программа сама пересчитает значения во всех ячейках, и появятся колебания численности обоих видов.

Остается представить результат в виде графика. Для этого выделяем столбцы В и С (достаточно провести по их заголовкам с буквами нажатой левой кнопкой мыши), и нажимаем на иконку «Диаграмма» на панели инструментов (или пункт меню Вставка — Диаграмма ). В открывшемся диалоговом окне выбираем График и соглашаемся с предлагаемым по умолчанию графиком с маркерами. После нескольких Далее> без возражений соглашаемся с Готово и рассматриваем результат. Динамика численности есть, но нагляднее было бы представить значения численности обеих популяций в согласованных величинах.

Для этого кликните мышкой по любому значению численности хищника, и в открывшемся окне ( Формат ряда данных ) выберите закладку Ось , а в ней в «Построить ряд» выберите «По вспомогательной оси» и нажмите ОК. Если было просмотрено много поколений (100-200), согласованные колебания численности будут хорошо видны на графике. Если поколений маловато, можно повторить процедуры растягивания всех трех столбцов еще на ряд поколений, активизировав по очереди нижние ячейки каждого и растягивая мышкой за правый нижний угол.

В результате у автора получился такой файл с моделью динамики популяций (см. рис. слева), который можно скачать и использовать (файл lotka01.xls, 47 kb) .
Все модели популяций в одном архиве (118 кб): экспоненциальный и логистический рост, конкуренция, хищник-жертва (и смена жертв), паразит-хозяин. К ИУМК «Экология. Конструирование биосферы». Модели по экологии в Excel тут.

Более точные представления о математическом моделировании можно найти в статье Б.П.Зеленцова «Математические модели на основе процесса размножения и гибели объекта» в «Соросовском образовательном журнале» т. 7, № 6, 2001 г., с. 92-97. (114 кб).

C++ — Система хищник-жертва (модель Лотки-Вольтерры) — C++

Система уравнений Лотки – Вольтерры находит применение не только в природе, но также часто используется при моделировании экономических систем. При этом часто экономические системы сравниваются с биологическими, где в качестве энергии выступает биомасса, а в экономических системах – капитал. Эти уравнения применимы при моделировании различных типов взаимодействия между видами, таких как системы «хищник ? жертва», «паразит ? хозяин», конкуренции так далее.

Опишем на математическом языке данное взаимодействие. В математической форме оно имеет следующий вид:

где x – количество жертв; y – количество хищников; t – время; α, β, γ, δ – коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Допустим, у нас есть закрытый ареал, существа которого не иммигрируют и не эмигрируют. Также допустим, что еды для травоядных животных у нас имеется с избытком.

Диаграмма причинно-следственной связи данной системы представлена на рис. 1.

Тогда уравнение изменения количества жертв примет вид:

где α – это коэффициент рождаемости жертв; x – это величина популяции жертв; – это скорость прироста популяции жертв.

Рис. 1. Пищевой обмен в системе «хищник-жертва»

Так как хищники стабильным питанием не обеспечены, то они вымирают. Следовательно, уравнение для хищников примет вид

где γ – это коэффициент убыли хищников; y – это величина популяции хищников; – это скорость прироста популяции хищников.

Таким образом, при встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине xy) происходит поглощение жертв с коэффициентом β и рождение новых хищников с коэффициентом δ. С учётом этого получаем систему уравнений:

В статье будет произведен обзор некоторых наиболее интересных моделей с применением системы дифференциальных уравнений Лотки – Вольтерры, с кратким авторским выводом по каждой из них.

«Динамическая городская модель Лотки – Вольтерры»

Это модель динамики развития популяции отношения городского населения к стране и отношения среднего дохода городского населения к среднестрановому, рассмотрена в работе D-J.F. Kamann и P. Nijkamp [3].

Население городов может представлять колеблющиеся паттерны в зависимости от их правильного использования экономии масштаба от экономической производительности города и от инкубационного потенциала. Авторы доказывают, что многие города США показывают стабильное динамическое поведение, похожее на спиралевидный путь, на основе использования двух ключевых переменных, выражающих городскую динамику: относительная популяция и доход на душу населения. Два дифференциальных уравнения, выраженных через отношение городского населения к национальному и отношение городского среднего дохода к среднему национальному доходу, показывают эволюцию популяции согласно модели Лотки –Вольтерры «хищник – жертва».

Модель выглядит следующим образом:

где i – зона рассмотрения; x – население; y – средний доход; a и β – динамические параметры.

Авторами были обнаружены различные интересные результаты по исследованию американских городов, которые подтверждают применимость модели Лотки – Вольтерры «хищник-жертва» для моделирования динамики городского населения. Главным достоинством модели является ее гибкость, выраженная в возможности генерировать широкий спектр динамического поведения городов, включая как стабильную, так и нестабильную динамику. Основным недостатком модели является недостаток экономических и статистических тестов, которые могли бы служить для более точной интерпретации результатов реализации модели. Также недостатком является отсутствие микроданных, безусловно влияющих на динамику городского населения и доходы населения [1], среди которых: предпринимательская активность жителей, различные программы стимулирования экономического роста муниципальными или федеральными органами.

Динамика конкуренции
на фондовой бирже на основе модели «хищник-жертва»

TheodoreModis [4] исследует конкуренцию на фондовой бирже, где существуют два вида конкуренции: между компаниями,
торгующимися на бирже, через их цену, а также между инвесторами, охотящимися за компаниями. Автор в исследовании для моделирования этих процессов также берет за основу систему уравнений Лотки – Вольтерры.

В рамках данной работы все акции на Нью-Йоркской фондовой бирже разделены на две группы или популяции: первая – это вся фондовая биржа как целое: несмотря на взаимосвязи с другими фондовыми биржами по всему миру, автор этой работы рассматривает Нью-Йоркскую биржу как отдельную нишу, где существуют свои правила, традиции и культура. В ней совершается более 80 % все фондовых транзакций в США, и это важнейшая фондовая биржа в мире. Вторая популяция – это индекс Доу-Джонс. 30 «голубых фишек», торгующих на Нью-Йоркской бирже, образуют свою микросистему внутри большой биржи. Они все подобны в некотором роде, иногда выражая себя как единственную альтернативу для потенциального инвестора. Также будет разумно предположить, что каждая из этих 30 компаний ведет себя на рынке как самостоятельное существо. Это подтверждается тем, что развитие индекса Доу-Джонс во времени подвержено собственному тренду движения на рынке, отличному от тех, которые образуют некоторые из «голубых фишек» в этом индексе за тот же период времени.

Преимуществом модели безусловно является глубоко проведенный анализ статистической информации по выявлению шаблонного поведения данных популяций, в разные исторические периоды. Это позволило TheodoreModis достаточно полно обосновать применимость модели Лотки – Вольтерры для моделирования рыночных процессов. Однако недостатком ее является отстраненность от фундаментальных причинразвития фондового рынка, с большой вероятностью влияющих на поведение моделируемых популяций.

Моделирование процессов
в банковской системе на основе модели
Лотки – Вольтерры

В данной модели автором AdrianComes [5] производится анализ банковской системы через аналогию с биологическими системами и применением трехуровневой системы дифференциальных уравнение Лотки – Вольтерры «хищник-жертва».

В экологических системах происходит передача энергетической биомассы от травоядных к хищникам и от растений к травоядным. Аналогично в банковской системе происходит трансфер капитала от Центрального Банка к обычным банкам и далее к частным лицам и компаниям (таблица ).

В данном исследовании объектом изучения являются частные лица (поставщики/клиенты). Для имитации процессов в банковской системе используется трехуровневая модель Лотки – Вольтерры – система дифференциальных уравнений, анализирующих равновесие банковского сектора. Решением является идея найти динамическую точку равновесия в банковской системе методом Фоккера – Планка – Колмогорова.

Система дифференциальных уравнений данной модели выглядит следующим образом:

Так называемая трехуровневая модель Лотки – Вольтерры, рассматриваемая в этой работе, представляет собой систему уравнений по описанию передачи капитала в финансовой цепи. Главный хищник в ней – Центральный Банк, питающийся на обычных банках, которые он кредитует, а они, в свою очередь, питаются на финансовых ресурсах частных лиц и компаний. Автору удается найти некую точку в банковской системе путем нахождения оптимальных параметров математическими методами, при которой система приходит в равновесие и популяции мирно продолжают сосуществовать.

На наш взгляд, автором применен очень оригинальный подход к моделированию банковской системы, который, на первый взгляд, кажется вполне обоснованным с применением аналогий с биологическими системами. Однако автору недостает анализа реальных исторических данных по работе банковской системы, а также не учитывается при этом возможность эмиссии Центральным Банком денежных средств.

Сопоставил модель «хищник-жертва» Вольтерра-Лотки с развитием человеческого общества

Модель очень хорошо описывает распределение расс и национальностей за последние 200 лет. Только прогнозы для нас, европеоидов, не очень. Наша численность упадёт, примерно, до 5-12%, по моей модели, от общей численности населения земли. Примерно через 150-300 лет (точнее не могу) численность нашей рассы начнёт расти и достигнет пика через 600-800 лет, став на доминирующей. Для расчётов строил модель на основе дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты, коэффициенты брал исходя из динамики смены популяций за последние 200 лет.

Щас лопну от смеха.

Подозреваю, что через 800 лет наша раса будет уже не совсем нашей.

Сопоставил модель «хищник-жертва» Вольтерра-Лотки с развитием человеческого общества

Молодец, возьми с полки пирожок.
Но, позвольте, милейший, где же расчёты? Статью чтоли написал бы какую. :)

Эту работу я не хочу публиковать. Она сыра, так как там не учитывается фактор ассимиляции, так как на период исследования этот фактор пренебрежимо мал.

Пардон за описку, но это не повод для смеха.

Через двести лет человечество расколется на две неравные части по неизвестному нам признаку, причём меньшая часть навсегда обгонит большую.

Для человека, прокалывающего шины плохо припаркованным машинам неплохо, но на чём основано умозаключение?

Знаком с термином «нормальное распределение»?

Знаком с термином «нормальное распределение»?

С распределением Гаусса знаком, что дальше?

так как на период исследования этот фактор пренебрежимо мал.


громкий смех в зале переходящий в истерику. В течении 200 ближайших лет афроамериканцы станут неотличимы от белых американцев

Я таки не понял, кто кого жрет? Каннибализм давно не в почете.

Дважды описался?Еще и в одном сообщении? Бывает же!

Наша численность упадёт, примерно, до 5-12%

Наверное, это к лучшему %)

Дважды описался?Еще и в одном сообщении? Бывает же!

Ничего страшного, я крайне редко употребляю этот термин, если вам будет легче от этого, то я признаю, что дважды написал неправильно.

громкий смех в зале переходящий в истерику. В течении 200 ближайших лет афроамериканцы станут неотличимы от белых американцев

МежраСовые браки между белыми и неграми крайне редки даже в США, я исследовал популяцию европеоидов исходя именно из этих данных.

Теперь выбери любой параметр в качестве признака и смотри на вероятность того, когда он будет встречаться. Вот тебе и раскол по неизвестному признаку.

Для человека, следящего за жизнью каждого толксожителя, ещё лучше.
//«Волны гасят ветер» не читал, что ли? Если нет, то стыд тебе и позор, твари дрожащей.

«Европеоидность» — очень сомнительной выгоды признак сам по себе.

Хороший у вас потолок, я смотрю.

А вот данные генотипирования показывают обратное. То есть конечно, браки может и редки, а вот детки до 1/5 от всех афроамериканцев каждое поколение.

Да вообще смотреть надо не на рожу а на гаплогруппу а они внутри популяции варьируют очень сильно. Скажем, доля монголоидных гаплогрупп среди «русских» достигает 10%. Человечество по сути уже давно одна большая популяция.

Теперь выбери любой параметр в качестве признака и смотри на вероятность того, когда он будет встречаться. Вот тебе и раскол по неизвестному признаку.

Это крайне примитивная модель, распределение Гаусса хорошо при распределении вероятности хаотичных величин в рамках параметра. Распределение популяций и рас не хаотично, но соответствует закономерности, которую я и пытаюсь описать.

Человечество по сути уже давно одна большая популяция.

Учитывая накал культурного, расового и национального раскола это не так.

Это сферическая модель в вакууме. Охотники-люди в истории человеческой цивилизации занимали очень малый срок.

Распределение популяций и рас не хаотично

Внутри популяции распределение идет как раз по Гауссу

Угу, вулканическая зима мм. немного запачкает вторых

/me вспомнил серю Хауса, где белый отец захаживал к соседке негритянке

Учитывая накал культурного, расового и национального раскола это не так.

А при чем тут это? Чистые «расы» существуют лишь пока генотипирование не стало стандартной клинической процедурой. Вот будут гаплотип в историях болезни писать, сразу поймешь всю относительность деления на «рассы». А культруный и национальный раскол вообще не имеет отношения к генетике. Это исключительно вопрос воспитания.

Появление абсолютно европеоидных детей в чисто негритянских семьях, не то что бы правило, но уже ни у кого удивления не вызывает. Это как со цветом глаз/волос, только надо чтоб четыре гена в гомозиготу ушли а не один.

Внутри популяции распределение идет как раз по Гауссу

Согласен, но популяция, в моей модели, есть обособленный конгломерат, то есть грубо говоря, клан азиатов в городе N имеет внутри распределение Гаусса по набору генетических признаков своей общины, клан славян, в том же городе имеет своё распределение Гаусса по генетическим признакам, но в общем по городу N работает модель «хищник-жертва» между кланом азиатов и славян, так как взаимное проникновение популяций пренебрежимо мало.

Повторя вопрос? Кто кого жрет? Модель хищник-жертва не описывает внутривидовую конкуренцию (тем более у человека она уже давно перешагнула биологию)

Повторя вопрос? Кто кого жрет? Модель хищник-жертва не описывает внутривидовую конкуренцию (тем более у человека она уже давно перешагнула биологию)

Если вы про модель продуцент-консумент, то в явном виде этого нет, но общая модель и динамика распределения численности конгломератов соответствует модели. Я, собственно, и поставил общественность в известность потому как удивился соответствию.

не хотел бы жить среди одних только черножопых и пи***здоглазых

внешне мне нравятся только европеоиды с бледной кожей, светлыми и русыми волосами и светлыми глазами

и значит модель неприменима

но общая модель и динамика распределения численности конгломератов соответствует модели.

прозреваю подгонку под результат.

Модель «хищник-жертва» это не модель «один съел (в прямом смысле) другого», это модель взаимодействия систем.

Все равно модель подразумевает поглощение. То есть например если пытаемся натянуть модель на взаимодействие торговцы/рэкетиры то смотреть надо не на численность торговцев и рэкетиров а на совокупный объем бабла у торговцев и совокупный объем бабла у рэкетиров.

Учитывая накал культурного, расового и национального раскола это не так.

В любой группе, даже состоящей из идентичных физически клонов, рано или поздно либо создастся конфликт на основе индивидуальных отличий, либо такая группа тихо сгниёт.

Это не плохо и не хорошо, это естественно.

Расовая принадлежность, как уже сказано — ныне признак ниразу не определяющий ничего практически, только формально. Хочется делить — дели по IQ, количеству плюсиков на stackoverflow, высоте прыжков, времени стометровки, длине МПХ, продолжительности жизни ну ты понел.

У меня в универе один препод уже который год этим занимается, разбил людей на три группы по Гумилёву и моделировал их взаимоотношения, но не через дифуры и модель «хищник-жертва», а через конечные автоматы. В итоге получались графики как от этой модели.

А система учитывает полеты к Марсу? А то доминирующими станет быдло, а все умные улетят жить на Титан :)

Только прогнозы для нас, европеоидов, не очень. Наша численность упадёт, примерно, до 5-12%, по моей модели, от общей численности населения земли.

У нас в демографии это уже не новость, кэп.

Примерно через 150-300 лет (точнее не могу) численность нашей рассы начнёт расти

Вашей расы? Ну, ну, надеюсь. Если через 150 лет западная цивилизация скатится в УГ, то тогда да, будет расти.

и достигнет пика через 600-800 лет, став на доминирующей.

Мда, это явно Ванга мод.

Философия, весна, возраст в промежутке от 20 до 30 . Я бы на вашем месте пообщался бы всё-таки с психологом.

Философия, весна, возраст в промежутке от 20 до 30 .

Срываю покровы, мне 38.

Если так, одной проблемой меньше.

У меня в универе один препод уже который год этим занимается, разбил людей на три группы по Гумилёву и моделировал их взаимоотношения, но не через дифуры и модель «хищник-жертва», а через конечные автоматы. В итоге получались графики как от этой модели.

Совпаденя результатов от разных методов, это прекрасно. Я очень увлечён этой тематикой, но это не основноя моя работа (к сожалению).

Через двести лет человечество расколется на две неравные части по неизвестному нам признаку, причём меньшая часть навсегда обгонит большую.

А то доминирующими станет быдло

оно и сейчас доминирует на 95%.

внешне мне нравятся только европеоиды с бледной кожей, светлыми и русыми волосами и светлыми глазами

а мне нравятся только бабы, я извращенец?

Только Стругацкие, только Полдень, только «блага богов — это ветер».

Курсовая работа: Качественное исследование модели хищник-жертва

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет»

Факультет «Прикладная математика»

Кафедра «Математическое моделирование процессов и технологий»

по дисциплине «Дифференциальные уравнения»

Тема: «Качественное исследование модели хищник-жертва»

1. ПАРАМЕТРЫ И ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОДЕЛИ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»

2. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МОДЕЛИ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»

2.1 Модель трофического взаимодействия по типу «хищник—жертва»

2.2 Обобщенные модели Вольтера типа «хищник-жертва».

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»

В настоящее время задачи экологии имеют первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.

Одной из основных задач экологии па современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем, поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория оптимального управления.

Одной из первых работ в области математической экологии была работа А.Д. Лотки (1880 — 1949), который первый описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник — жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 — 1940), В.А. Костицин (1883-1963) В настоящее время уравнения описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки — Вольтерра.

Уравнения Лотки — Вольтерра описывают динамику средних величин — численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро-дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник — жертва.

Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления.

1. ПАРАМЕТРЫ И ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОДЕЛИ ХИЩНИК-ЖЕРТВА

Попытки математического моделирования динамики как отдельных биологических популяций, так и сообществ, включающих взаимодействующие популяции различных видов, предпринимались давно. Одна из первых моделей роста изолированной популяции (2.1) была предложена еще в 1798 г. Томасом Мальтусом:

Данная модель задается следующими параметрами:

N — численность популяции;

— разность между коэффициентами рождаемости и смертности.

Интегрируя это уравнение получаем:

где N(0) – численность популяции в момент t = 0. Очевидно, что модель Мальтуса при > 0 дает бесконечный рост численности, что никогда не наблюдается в природных популяциях, где ресурсы, обеспечивающие этот рост, всегда ограничены. Изменения численности популяций растительного и животного мира нельзя описывать простым законом Мальтуса, на динамику роста влияют многие взаимосвязанные причины – в частности, размножение каждого вида саморегулируется и видоизменяется так, чтобы этот вид сохранялся в процессе эволюции. [1]

Математическим описанием этих закономерностей занимается математическая экология – наука об отношениях растительных и животных организмов и образуемых ими сообществ между собой и с окружающей средой.

Наиболее серьезное исследование моделей биологических сообществ, включающих в себя несколько популяций различных видов, было проведено итальянским математиком Вито Вольтерра:

где — численность популяции;

— коэффициенты естественного прироста (или смертности) популяции; — коэффициенты межвидового взаимодействия. В зависимости от выбора коэффициентов модель описывает либо борьбу видов за общий ресурс, либо взаимодействие типа хищник — жертва, когда один вид является пищей для другого. Если в работах других авторов основное внимание уделялось построению различных моделей, то В. Вольтерра провел глубокое исследование построенных моделей биологических сообществ. Именно с книги В. Вольтерра, по мнению многих ученых, началась современная математическая экология.

2. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МОДЕЛИ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»

2.1 Модель трофического взаимодействия по типу «хищник—жертва»

Рассмотрим модель трофического взаимодействия по типу «хищник—жертва», построенную В. Вольтерром. Пусть имеется система, состоящая из двух видов, из которых один поедает другой.

Рассмотрим случай, когда один из видов является хищником, а другой — жертвой, и будем считать, что хищник питается только жертвой. Примем следующую простую гипотезу:

— коэффициент прироста жертвы;

— коэффициент прироста хищника;

— численность популяции жертвы;

— численность популяции хищника;

— коэффициент естественного прироста жертвы;

— скорость потребления жертвы хищником;

— коэффициент смертности хищника в отсутствие жертвы;

— коэффициент «переработки» хищником биомассы жертвы в собственную биомассу.

Тогда динамика численности популяций в системе хищник — жертва будет описываться системой дифференциальных уравнений (2.1):

где все коэффициенты положительные и постоянные.

Модель имеет равновесное решение (2.2):

По модели (2.1) доля хищников в общей массе животных выражается формулой (2.3):

Анализ устойчивости состояния равновесия по отношению к малым возмущениям показал, что особая точка (2.2) является «нейтрально» устойчивой (типа «центр»), т. е. любые отклонения от равновесия не затухают, но переводят систему в колебательный режим с амплитудой, зависящей от величины возмущения. Траектории системы на фазовой плоскости имеют вид замкнутых кривых, расположенных на различных расстояниях от точки равновесия (рис. 1).

Рис. 1 – Фазовый «портрет» классической вольтерровой системы «хищник-жертва»

Разделив первое уравнение системы (2.1) на второе, получим дифференциальное уравнение (2.4) для кривой на фазовой плоскости .

Интегрируя данное уравнение получим:

где — постоянная интегрирования, где

Несложно показать, что движение точки по фазовой плоскости будет происходить только в одну сторону. Для этого удобно сделать замену функций и , перенеся начало координат на плоскости в стационарную точку (2.2) и введя затем полярные координаты:

В таком случае, подставив значения системы (2.6) в систему (2.1), будем иметь:

Умножив первое уравнение на , а второе — на и сложив их, получим:

После аналогичных алгебраических преобразований получим уравнение для :

Величина , как видно из (4.9), всегда больше нуля. Таким образом, не меняет знака, и вращение все время идет в одну сторону.

Интегрируя (2.9) найдем период:

Когда мало, то уравнения (2.8) и (2.9) переходят в уравнения эллипса. Период обращения в этом случае равен:

Исходя из периодичности решений уравнений (2.1), можно получить некоторые следствия. Представим для этого (2.1) в виде:

и проинтегрируем по периоду:

Так как подстановки от и в силу периодичности обращаются в нуль, средние по периоду оказываются равными стационарным состояниям (2.14):

Простейшие уравнения модели «хищник—жертва» (2.1) обладают рядом существенных недостатков. Так, в них предполагается неограниченность пищевых ресурсов для жертвы и неограниченный рост хищника, что противоречит экспериментальным данным. Кроме того, как видно из рис. 1, ни одна из фазовых кривых не выделена с точки зрения устойчивости. При наличии даже небольших возмущающих воздействий траектория системы будет все дальше уходить от положения равновесия, амплитуда колебаний расти, и система достаточно быстро разрушится.

Несмотря на недостатки модели (2.1), представления о принципиально колебательном характере динамики системы «хищник— жертва» получили широкое распространение в экологии. Взаимодействиями «хищник—жертва» объясняли такие явления, как колебания численности хищных и мирных животных в промысловых зонах, колебания в популяциях рыб, насекомых и т. д. На самом деле колебания численности могут быть обусловлены и другими причинами.

Предположим, что в системе хищник — жертва происходит искусственное уничтожение особей обоих видов, и рассмотрим вопрос о том, каким образом уничтожение особей влияет на средние значения их численности, если осуществляется пропорционально этой численности с коэффициентами пропорциональности и соответственно для жертвы и хищника. С учетом сделанных предположений систему уравнений (2.1) перепишем в виде:

Предположим, что , т. е. коэффициент истребления жертвы меньше коэффициента ее естественного прироста. В этом случае также будут наблюдаться периодические колебания численности. Вычислим средние значения численностей:

Таким образом, если , то средняя численность популяций жертвы возрастает, а хищника — убывает.

Рассмотрим случай, когда коэффициент истребления жертвы больше коэффициента ее естественного прироста, т. Е . В этом случае при любых , и, следовательно, решение первого уравнения (2.15) ограничено сверху экспоненциально убывающей функцией , т. е. при .

Начиная с некоторого момента времени t, при котором , решение второго уравнения (2.15) также начинает убывать и при стремится к нулю. Таким образом, в случае оба вида исчезают.

2.1 Обобщенные модели Вольтера типа «хищник-жертва»

Первые модели В. Вольтерра, естественно, не могли отражать все стороны взаимодействия в системе хищник — жертва, поскольку они были в значительной мере упрощены относительно реальных условий. Например, если численность хищника равна нулю, то из уравнений (1.4) следует, что численность жертвы неограниченно возрастает, что не соответствует действительности. Однако ценность этих моделей состоит именно в том, что они были основой, на которой быстрыми темпами начала развиваться математическая экология.

Появилось большое число исследований различных модификаций системы хищник — жертва, где были построены более общие модели, учитывающие в той или иной степени реальную ситуацию в природе.

В 1936 г. А.Н. Колмогоров предложил использовать для описания динамики системы хищник — жертва следующую систему уравнении:

где убывает с возрастанием численности хищников, а возрастает с увеличением численности жертвы.

Эта система дифференциальных уравнений в силу ее достаточной общности позволяет хорошо учитывать реальное поведение популяций и вместе с тем проводить качественный анализ ее решений.

Позднее в своей работе, Колмогоров исследовал подробно менее общую модель:

Различные частные случаи системы дифференциальных уравнений (2.18) исследовались многими авторами. В таблице приведены различные частные случаи функций , , .

Таблица 1 — Различные модели сообщества «хищник-жертва»

Название: Качественное исследование модели хищник-жертва
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 15:41:04 22 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 7569 Комментариев: 13 Оценило: 9 человек Средний балл: 4.6 Оценка: 5 Скачать
Авторы
Вольтерра-Лотка
Гаузе
Пислоу
Холинг
Ивлев
Рояма
Шимазу
Мэй

математическое моделирование хищник жертва

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ХИЩНИК-ЖЕРТВА

Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа «хищник — жертва», называемую моделью Вольтерра — Лотки.

Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид — хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками.

Заданы следующие начальные показатели:

Со временем число карасей и щук меняется, но так как рыбы в пруду много, то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать и непрерывными функциями времени t. Будем называть пару чисел ( , ) состоянием модели.

Очевидно, что характер изменения состояния ( , ) определяется значениями параметров. Изменяя параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы во времени.

В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений:

Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты , , — называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния ( , ) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.

Проинтегрируем оба уравнения систему по t, которое будет изменяться от — начального момента времени, до , где T – период, за который происходят изменения в экосистеме. Пусть в нашем случае период равен 1 году. Тогда система принимает следующий вид:

Принимая = и = приведем подобные слагаемые, получим систему, состоящую из двух уравнений:

Подставив в полученную систему исходные данные получим популяцию щук и карасей в озере спустя год:

C++ — Система хищник-жертва (модель Лотки-Вольтерры) — C++

We recommend upgrading to the latest Google Chrome or Firefox.

Join GitHub today

GitHub is home to over 40 million developers working together to host and review code, manage projects, and build software together.

New pull request

Clone with HTTPS

Use Git or checkout with SVN using the web URL.

Downloading .

Want to be notified of new releases in AlfaLegion/Lotka-Volterra-equations ?

Launching GitHub Desktop .

If nothing happens, download GitHub Desktop and try again.

Launching GitHub Desktop .

If nothing happens, download GitHub Desktop and try again.

Launching Xcode .

If nothing happens, download Xcode and try again.

Launching Visual Studio .

Permalink

Наименование показателя Щуки Караси
— начальная численность популяции 10000 800
—коэффициент естественного прироста/смертности
—коэффициенты межвидового взаимодействия
  • © 2020 GitHub , Inc.
  • Terms
  • Privacy
  • Security
  • Status
  • Help

You can’t perform that action at this time.

You signed in with another tab or window. Reload to refresh your session. You signed out in another tab or window. Reload to refresh your session.

Модель соперничества в системе «хищник—жертва»

Первая простейшая модель соперничества двух биологических видов, один из которых (жертва) является основной пищей для другого (хищник), была независимо предложена А.Лоткой и В. Вольтерра. Модель Лотки—Вольтерра описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

В этих уравнениях х и у — численности популяций жертв и хищников соответственно (например, зайцев и лисиц), а коэффициенты а, Ь, с и / считаются положительными константами. Записанные на основе чисто интуитивных представлений, эти уравнения качественно могут быть обоснованы следующим образом. Численность популяции зайцев увеличивается со скоростью, пропорциональной числу хуже имеющихся особей, но убывает пропорционально произведению ху числа зайцев и лисиц. Аналогично, численность лисиц увеличивается со скоростью, пропорциональной числу «встреч» лисиц и зайцев, и убывает пропорционально числу имеющихся лисиц (в отсутствие зайцев, которые в этой модели являются единственно доступной пищей, лисицы погибают от голода). Таким образом, каждый акт взаимодействия уменьшает популяцию зайцев, но увеличивает популяцию лисиц.

В рассматриваемой простейшей модели двухвидовой биологической системы пренебрегается целым рядом факторов, влияющих на реально происходящие процессы. Например, численности популяций считаются зависящими только от времени, поскольку не учитывается пространственное распределение популяций на занимаемой территории. Далее, пренебрегается естественной смертностью жертвы и естественной рождаемостью хищника, которые считаются малыми по сравнению с изменением численности за счет учитываемых в модели процессов. Пренебрегается существующей временной задержкой между моментами питания лисиц и моментами появления потомства в результате добывания пищи и т.д.

Система уравнений (1) решается совместно с начальными условиями х(0) = Xq и у(0) = у; это означает, что эволюция биологической системы определяется исключительно ее начальным состоянием и не зависит от «истории» попадания системы в это начальное состояние. В действительности это предположение представляет собой весьма сильное допущение, ибо поведение лисиц и зайцев может быть совершенно различным в нормальных естественных условиях и при стрессе, вызванном какой-либо катастрофой, например лесным пожаром, землетрясением и т.д. (В дальнейшем мы обсудим последствия, к которым приводит отказ от некоторых из этих упрощающих предположений.)

Система уравнений (1) существенно нелинейна благодаря присутствию членов fxy и -сху в правых частях уравнений.

Эволюция популяций в жесткой модели, описываемой этой системой, показана на фазовом портрете системы (рис. 1.27). Простой анализ показывает, что существует стационарное состояние Л (критическая точка) с координатами х = b/f и у — а/с и второе (не представляющее интереса) стационарное состояние (х, у) = (0, 0) При любом другом начальном состоянии численности популяций осциллируют, так что по истечении некоторого промежутка времени система возвращается в исходное состояние.

Чтобы понять вид кривых на фазовом портрете системы, преобразуем систему уравнений (1) к виду

для чего достаточно просто разделить почленно одно уравнение системы на другое. Из соотношения (2) вытекает равенство

Интегрируя (3), приходим к соотношению

Константа С| в правой части (4) зависит от начальных условий Xq и у. Соотношение (4) означает, что система уравнений (1) имеет интеграл вида

Потенцируя выражение (5), получаем этот интеграл в виде

Чтобы яснее понять временную динамику функций х(/) и >>(/), перепишем уравнения (1) в виде

Проинтегрируем уравнение (7) по периоду Тосцилляций функций х(/) и y(t). Имеем следующие соотношения:

Из соотношений (8) следуют формулы:

которые означают, что отношения а/с и b/f равны средним значениям по периоду колебаний функций y(t) и х(1) соответственно. Амплитуда и период колебаний определяются начальными значениями х и у0 численностей популяций. Колебания, сущность которых понятна из интуитивных соображений и которые реально наблюдаются в природе, означают возникновение в двухвидовых популяционных системах значительно более сложных процессов, чем в одновидовых системах, описываемых мальтузианской, логистической или другими моделями.

Простейшая жесткая модель Лотки—Вольтерра не обладает свойствами структурной устойчивости: при малом отклонении от положения равновесия численности как хищника, так и жертвы с течением времени не возвращаются к равновесным значениям, а испытывают осцилляции. Амплитуды и период осцилляций могут быть просто установлены при малых отклонениях от положения равновесия, при которых нелинейные уравнения (1) могут быть линеаризованы.

Введем относительные безразмерные величины:

для которых с помощью (1) получаем систему уравнений

Равновесное состояние системы соответствует значениям /1,о = п20 = 1, поэтому удобно ввести величины v] и г^, характеризующие отклонение от равновесия:

При малых отклонениях от равновесия можно пренебречь произведениями y,i/2, после чего система уравнений (11) принимает вид

Система (13) приводит к уравнению гармонических колебаний:

общее решение которого имеет вид (см. задачу 9 в подразд. 1.3)

где D и а — произвольные постоянные. Соответственно для v2 получаем

Удобно ввести новую постоянную

что позволяет переписать выражения (15) и (16) в симметричной форме и получить следующие формулы для x(t) и y(t)

Из (18) следует, что точка с координатами а: и у на фазовом портрете системы движется против часовой стрелки по эллипсу с центром в точке с координатами (b/f, а/с) и полуосями Ес/4а и Ef/Jb.

Как уже отмечалось, жесткая модель Лотки — Вольтерра не обладает структурной стабильностью. Если слегка изменить модель, записав основные уравнения в виде

(что означает, например, учет конкуренции хищников при охоте на жертвы), то вывод о периодичности поведения решений (т.е. возвращении системы в исходное состояние), справедливый для жесткой модели, теряет силу. В зависимости от вида малых поправок е 2 , у(х, у) = 0 в уравнениях (19)) фазовые траектории имеют вид спиралей, сходящихся с течением времени к положению равновесия А, что соответствует случаю 1 на рис. 1.28: с течением времени колебания численности популяций затухают.

В заключение данного подраздела обсудим кратко возникновение ситуаций, показанных в случае 3 на рис. 1.28. Такая ситуация носит название предельного цикла. Предельный цикл устойчив, т.е. при любых малых отклонениях от него система возвращается обратно на предельный цикл. Обычно предельные циклы возникают тогда, когда непериодические орбиты решений оказываются заключенными в замкнутых ограниченных областях. В этом случае они асимптотически приближаются с течением времени к определенному предельному циклу.

Возможны ситуации, когда система имеет несколько предельных циклов. Например, модель, описываемая системой уравнений

имеет замкнутые фазовые орбиты, которые представляют собой окружности с центрами в начале координат и радиусами яр, где п = 1, 2, 3, . Между тем только окружности с радиусами, равными (2к + 1)л, являются предельными циклами, т.е. асимптотическими пределами для других орбит. Орбиты, являющиеся окружностями с радиусами, равными 2кп, неустойчивы. Они делят область, лежащую между двумя предельными циклами, на два кольца. Начальные условия, соответствующие состояниям в меньшем кольце, соответствуют фазовым траекториям, асимптотически приближающимся к внутреннему предельному циклу, а начальные состояния в большем кольце порождают траектории, асимптотически приближающиеся к внешнему предельному циклу.

Задачи и упражнения

  • 1. Покажите, что точка с координатами на фазовой плоскости, даваемыми формулой (18), движется против часовой стрелки по эллипсу с центром в точке (b/f, а/с) и полуосями Ec/yfa и Ef/yfb.
  • 2. Докажите, что равновесное состояние А на рис. 1.27 неустойчиво.
  • 3. Покажите, что уравнению (20) соответствует фазовая картина, показанная в случае 1 на рис. 1.28.
  • 4. Существует ли какая-либо аналогия между критическими точками и предельными циклами?

Рисунок к задаче 6

  • 5. Объясните поведение фазовых траекторий системы уравнений (21) в терминах поля касательных.
  • 6. Рассмотрите систему уравнений

и соответствующее поле «миникасательных», показанное на рисунке к задаче.

  • а) Предложите простую модель сосуществования двух биологических видов (при положительных значениях х и у), описываемую этой системой уравнений.
  • б) Изобразите несколько различных решений системы на фазовой плоскости.
  • 7. Модель соперничества двух биологических видов описывается системой уравнений
  • а) Найдите равновесное состояние системы.
  • б) Постройте поле касательных и попытайтесь изобразить фазовый портрет системы.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все языки программирования для начинающих
Type Name Latest commit message Commit time
Failed to load latest commit information.